同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by AlEX 2向量组的线性相关性 3向量组的税 第四章向量组的线性相关性 4向量空间 5线性方程组的解的结构 本章总结 Chapter Iv linear dependence of vector Sets 主讲张少强 主讲人:张少强 sqzhang@mail.tinu.edu.cn 计算机与信息工程学院 返回 天津师范大学 全屏显示 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶♦Ù ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ Chapter IV Linear Dependence of Vector Sets ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学
本章主要内容f介 31n维向量 2向量组的线性相关性 3向量组的税 4向量空间 1.主要介绍n维向量( vector)、向量组( vector set)的线性组合、向 5线性方程组的解的结构 本章总结 量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极 大线性无关组、向量组的秩、向量组的等价等概念。 主讲张少强 2.介绍向量组线性相关( linearly dependent)的性质。矩阵的秩与 向量组的秩的关系,用矩阵的初等变换求向量组的秩和极大 标题页 无关组。 3.用向量组的性质分析线性方程组的结构。 4.向量空间、子空间的概念,向量空间的基( basis)和维 第2页共56页 数( dimension) 返回 全屏显示 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵ 1. ❒❻✵☛n➅➉þ(vector)✦➉þ⑤(vector set)✛❶✺⑤Ü✦➉ þ✛❶✺▲➠✦➉þ⑤✛❶✺❷✬❺❶✺➹✬✦➉þ⑤✛✹ ➀❶✺➹✬⑤✦➉þ⑤✛➑✦➉þ⑤✛✤❞✤❱❣✧ 2. ✵☛➉þ⑤❶✺❷✬(linearly dependent)✛✺➓✧Ý✡✛➑❺ ➉þ⑤✛➑✛✬❳➜❫Ý✡✛Ð✤❈❺➛➉þ⑤✛➑Ú✹➀ ➹✬⑤✧ 3. ❫➉þ⑤✛✺➓➞Û❶✺➄➜⑤✛✭✟✧ 4. ➉ þ ➌ ♠ ✦ ❢ ➌ ♠ ✛ ❱ ❣ ➜ ➉ þ ➌ ♠ ✛ ➘(basis)Ú ➅ ê(dimension)✧
11n维向量 定义1n个有次序的数a1,a2,,an构成的n元数组称为一个n维向量;这 31n维向量 些数称为向量的分量,第i个数a;称为向量的第i个分量. 2向量组的线性相关性 3向量组的税 n维列向量记作a= ,n维行向量记作a=(a1,2,…,an) 主讲张少强 本书中的向量除特别指出是行向量外,都是列向量.列向量用黑体小写字 标题页 母表示,行向量用带转置符号的黑体小写字母表示.η维列向量和n维向量 分别是n×1列矩阵和1×η行矩阵,它们的运算规则与矩阵运算规则一致 例如同维向量的加减,数乘及其运算规律与矩阵的一样 第3页共56页 零向量是分量都为0的向量,用黑体的0表示,而零矩阵用黑体的O表示 返回 列向量a与行向量a由定义1知是同一个向量,但我们总看成两个不同的向 全屏显示 量.本书主要讨论分量是实数的实向量 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1 §1 n➅ ➉ þ ➼➶ 1 n❻❦❣❙✛êa1, a2, . . . , an✟↕✛n✄ê⑤→➃➌❻n➅➉þ; ù ✡ê→➃➉þ✛➞þ, ✶i❻êai→➃➉þ✛✶i❻➞þ. n➅✎➉þP❾a = a1 a2 . . . an , n➅✶➉þP❾a T = (a1, a2, · · · , an). ✢Ö➙✛➉þØ❆❖➁Ñ➫✶➉þ✠, Ñ➫✎➉þ. ✎➉þ❫ç◆✂✕✐ ✶▲➠, ✶➉þ❫➅❂➌❰Ò✛ç◆✂✕✐✶▲➠. n➅✎➉þÚn➅➉þ ➞❖➫n × 1✎Ý✡Ú1 × n✶Ý✡, ➜❶✛✩➂✺❑❺Ý✡✩➂✺❑➌➋. ⑦❳Ó➅➉þ✛❭⑦, ê➛✾Ù✩➂✺➷❺Ý✡✛➌✘. ✧➉þ➫➞þÑ➃0✛➉þ, ❫ç◆✛0▲➠, ✌✧Ý✡❫ç◆✛O▲➠. ✎➉þa❺✶➉þa T❞➼➶1⑧➫Ó➌❻➉þ, ✂➲❶♦✇↕ü❻ØÓ✛➉ þ. ✢Ö❒❻❄Ø➞þ➫➣ê✛➣➉þ
在解析几何中向量的定义是“既有方向又有大小的量”引进坐标系,向 量用坐标表示就是三个有次序的实数.几何中的向量其实就是本书定义 的3维向量.在高等数学第七章就要学习 几何中,空间是点的集合,空间中的每个元素就是一个点.这样的空间叫点 空间.几何中的空间都是3维的把3维向量的全体成组成的集合R3={r= 31n维向量 2向量组的线性相关性 (x,y,2)|x,y,z∈R}叫做三维向量空间 3向量组的税 4向量空间 Z 5线性方程组的解的结构 本章总结 (x,y, z) 主讲张少强 标题页 第4页共56页 返回 全屏显 X 向量的集合丌={r=(x,y,2)Tax+b+cz=a}叫做向量空间R3中的平 面 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸✮Û❆Û➙➉þ✛➼➶➫“◗❦➄➉q❦➀✂✛þ”. Ú❄❿■❳, ➉ þ❫❿■▲➠Ò➫♥❻❦❣❙✛➣ê. ❆Û➙✛➉þÙ➣Ò➫✢Ö➼➶ ✛3➅➉þ. ✸♣✤ê➷✶ÔÙÒ❻➷❙. ❆Û➙, ➌♠➫✿✛✽Ü, ➌♠➙✛③❻✄❷Ò➫➌❻✿. ù✘✛➌♠✗✿ ➌♠. ❆Û➙✛➌♠Ñ➫3➅✛. r3➅➉þ✛✜◆↕⑤↕✛✽ÜR 3 = {r = (x, y, z) T |x, y, z ∈ R}✗❽♥➅➉þ➌♠. ➉þ✛✽Üπ = {r = (x, y, z) T |ax + by + cz = d}✗❽➉þ➌♠R 3➙✛➨ →
2向量组的线性相关性 定义n维向量的全体所组成的集合 3向量组的税 4向量空间 R={r=(x1,x2,…,rn)x1,x2,…,xn∈R} 5线性方程组的解的结构 本章总结 叫做n维向量空间 主讲张少强 n维向量的集合丌={r=(x1,x2,……,xn)Ta1x1+a2x2+…anxn=b}叫做 标题页 向量空间R中的超平面 例如3维空间再加上时间作为一维就成了4维向量空间.n维向量有着广泛 的应用.例如线性方程组Aπ=b中的η个未知量组成的向量就是n维向 第5页共56页 量 返回 全屏显 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ n➅➉þ✛✜◆↕⑤↕✛✽Ü R n = {r = (x1, x2, . . . , xn) T |x1, x2, . . . , xn ∈ R} ✗❽n➅➉þ➌♠. n➅➉þ✛✽Üπ = {r = (x1, x2, . . . , xn) T |a1x1 + a2x2 + · · · anxn = b}✗❽ ➉þ➌♠R n➙✛❻➨→. ⑦❳3➅➌♠✷❭þ➒♠❾➃➌➅Ò↕✡4➅➉þ➌♠. n➅➉þ❦❳✷➁ ✛❆❫. ⑦❳❶✺➄➜⑤Ax = b➙✛n❻➍⑧þ⑤↕✛➉þxÒ➫n➅➉ þ
22向量组的线性相关性 定义若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量 31n维向量 组( vector set) 2向量的线性相关性 矩阵A=(a1)mxn既有n个m维的列向量又有m个n维的行向量.令 3向量组的税 5线性方程组的解的结构 (=1,2,,m)α=(an,a2,…,am),(i=1,2,,,m) 主讲张少强 标题页 则向量组a1,a2…,an称为A的列向量组.向量组a,a2,…,am称为矩 阵A的行向量组 显然 第6页共56页 A=(a1, ag,n//ga 返回 全屏显 很明显,有限个向量所组成的向量组肯定也构成一个矩阵 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ ➼➶ ❡❩❻Ó➅ê✛✎➉þ(➼Ó➅ê✛✶➉þ)↕⑤↕✛✽Ü✗❽➉þ ⑤(vector set). Ý✡A = (aij)m×n◗❦n❻m➅✛✎➉þq❦m❻n➅✛✶➉þ. ✲ aj = a1j a2j . . . amj ,(j = 1, 2, . . . , n) α T i = (ai1, ai2, . . . , ain),(i = 1, 2, . . . , m) ❑➉þ⑤a1, a2, . . . , an→➃A✛✎➉þ⑤. ➉þ⑤αT 1 , αT 2 , . . . , αT m→➃Ý ✡A✛✶➉þ⑤. ✇✱ A = (a1, a2, . . . , an) = αT 1 αT 2 . . . αT m . é➨✇, ❦⑩❻➉þ↕⑤↕✛➉þ⑤➆➼➃✟↕➌❻Ý✡
在第二章介绍分块矩阵(课本P64)时,把方程组AX=b写成 1a1+2a2+…+xnOn 的向量形式.方程组与列向量组a1,a2,,an,b之间有一种一一对应的关 系.向量b能由向量组a1,a2,,an用一个线性式子表示出来 31n维向量 2向量组的线性相关性 3向量组的税 定义2给定向量组A:a1,a2,,am,对于任何一组实数k1,k2,…,km 4向量空间 5线性方程组的解的结构 向量k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合( linear combi- 本章总结 nation,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数 主讲张少强 定义对于向量b和向量组A:a1,a2,,am,若存在一组数入,A2, λn使 标题页 b=A1a1+入2a2+…+ 则向量b是向量组A的线性组合,称向量b能由向量组A线性表示 第7页共56页 若向量b能由向量组A线性表示,则这个线性组合的系数就是方程 组π1a1+2a2+…+xnam=b的一个解根据上章的定理3,得到下面的 定理 全屏显示 定理1向量b能由向量组A:a1,a2,,an线性表示的充要条件是矩阵A= (a1a2,an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸✶✓Ù✵☛➞➡Ý✡(➅✢P.64)➒, r➄➜⑤AX = b✕↕ x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b ✛➉þ✴➟. ➄➜⑤❺✎➉þ⑤a1, a2, . . . , an, b❷♠❦➌➠➌➌é❆✛✬ ❳. ➉þb❯❞➉þ⑤a1, a2, . . . , an❫➌❻❶✺➟❢▲➠Ñ✺. ➼➶ 2 ❽➼➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am, é✉❄Û➌⑤➣êk1, k2, · · · , km, ➉þk1a1 + k2a2 + · · · + kmam→➃➉þ⑤A✛➌❻❶✺⑤Ü (linear combination), k1, k2, · · · , km→➃ù❻❶✺⑤Ü✛❳ê. ➼➶ é✉➉þbÚ➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am, ❡⑧✸➌⑤êλ1, λ2, · · · , λm➛ b = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam, ❑➉þb➫➉þ⑤A✛❶✺⑤Ü, →➉þb❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠. ❡➉þb❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠, ❑ù ❻❶✺⑤Ü✛❳êÒ➫➄➜ ⑤x1a1 + x2a2 + · · · + xnam = b✛➌❻✮. ❾âþÙ✛➼♥3, ✚✔❡→✛ ➼♥: ➼♥1 ➉þb❯❞➉þ⑤A : a1, a2, . . . , an❶✺▲➠✛➾❻❫❻➫Ý✡A = (a1, a2, . . . , an)✛➑✤✉Ý✡B = (a1, a2, . . . , an, b)✛➑
例题(补)设有向量b=1a1 2向量组的线性相关性 问b能否用向量组a1,a2,a3,a4线性表示?若 3向量组的税 4向量空间 5线性方程组的解的结构 试求出其线性表示式 本章总结 解由定理1知,b能用向量组a1,a2,a3,a4线性表示々→矩阵A a1,a2,a3,a4)的秩等于矩阵B=(a1,a2a3a1,b)的秩.←→非齐次线性 主讲张少强 方程组A=b有解,且任一解都是线性表达式的系数 标题页 1000 0100 (a1,a2,a3,a4b) 1-11-11他为行最海形 0010 第8页共56页 0001 返回 因由,R(A)=R(B)=4,于是b可由向量组a1,a2,a3,a4唯一线性表示为 全屏显示 b=-a1+-a2+--a3+ 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❑(Ö) ✗❦➉þb = 1 2 1 1 , a1 = 1 1 −1 −1 , a2 = 1 −1 1 −1 , a3 = 1 −1 1 −1 , a4 = 1 −1 −1 1 . ➥b❯➘❫➉þ⑤a1, a2, a3, a4❶✺▲➠? ❡❯, ➪➛ÑÙ❶✺▲➠➟. ✮ ❞ ➼ ♥1⑧, b❯ ❫ ➉ þ ⑤a1, a2, a3, a4❶ ✺ ▲ ➠⇐⇒ Ý ✡A = (a1, a2, a3, a4)✛➑✤✉Ý✡B = (a1, a2, a3, a4, b)✛➑.⇐⇒ ➎à❣❶✺ ➄➜⑤Ax = b❦✮, ❹❄➌✮Ñ➫❶✺▲❼➟✛❳ê. (a1, a2, a3, a4, b) = 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 2 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 ③^➃✶⑩④✴ 1 0 0 0 5 4 0 1 0 0 1 4 0 0 1 0 − 1 4 0 0 0 1 − 1 4 Ï❞, R(A) = R(B) = 4, ✉➫, b➀❞➉þ⑤a1, a2, a3, a4➁➌❶✺▲➠➃ b = 5 4 a1 + 1 4 a2 + − 1 4 a3 + − 1 4 a4.
定义3对于两个向量组A:a1,a2,,am及B:b1,b2,,b,若向量 组B中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性 表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价 定理向量组B:b1,b2,,b可由向量组A:a1,a2,,am线性表示 31n维向量 2向量组的线性相关性 的充要条件是存在m×s矩阵K,使矩阵A=(a1,a2,,,am)和B= 3向量组的税 (b1,b2,,b)满足 4向量空间 5线性方程组的解的结构 B= AK 本章总结 证每个b(=1,2,…,S)可由a1,a2,…,am线性表示 主讲张少强 61= kual+k21a2 +.+kmla 标题页 b2=k1201+k22a2+…+km2Q bs=k1sa1+k2sa2+…+k k11k12 kl 第9页共56页 k21 k 〈→(b1,b2,…,b)=(a1,a k2 返回 全屏显示 B=AK,其中K=(k) 注:矩阵K称为向量组B由向量组A线性表示的系数矩阵 週出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶3 é✉ü❻➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am ✾B : b1, b2, . . . , bs, ❡➉þ ⑤B➙③❻➉þÑ❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠, ❑→➉þ⑤B❯❞➉þ⑤A❶✺ ▲➠. ❡➉þ⑤A❺➉þ⑤B❯❷♣❶✺▲➠, ❑→ùü❻➉þ⑤✤❞. ➼♥ ➉þ⑤B : b1, b2, . . . , bs➀❞➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am❶✺▲➠ ✛➾❻❫❻➫⑧✸m × sÝ✡K, ➛Ý✡A = (a1, a2, . . . , am)ÚB = (b1, b2, . . . , bs)÷✈ B = AK. ② ③❻bj (i = 1, 2, . . . , s)➀❞a1, a2, . . . , am❶✺▲➠ ⇐⇒ b1 = k11a1 + k21a2 + · · · + km1am b2 = k12a1 + k22a2 + · · · + km2am · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · bs = k1sa1 + k2sa2 + · · · + kmsam ⇐⇒ (b1, b2, . . . , bs) = (a1, a2, . . . , am) k11 k12 · · · k1s k21 k22 · · · k2s . . . . . . . . . km1 km2 · · · kms ⇐⇒ B = AK, Ù➙K = (kij)m×s. ✺: Ý✡K→➃➉þ⑤B❞➉þ⑤A❶✺▲➠✛❳êÝ✡.
由量面的定理可知,若 C=Am×Bxn,则矩阵C的列向量组能由矩 阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.同时C的行向量组能 由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵 12 ls a21a22 a2s 2向量组的线性相关性 AB 3向量组的税 4向量空间 m1 a 5线性方程组的解的结构 s 本章总结 定理若A初B,则A的行向量组与B的行向量组等价 主讲张少强 若A初B,则A的列向量组与B的列向量组等价 标题页 证A初等变换B=B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合=→ B的行向量组能由A的行向量组线性表示 第10页共56页 初等变与可逆→B初短换A→A的每个行向量都是B的行向量组的 线性组合=A的行向量组能由B的行向量组线性表示 全屏显 所以,A的行向量组与B的行向量组等价 类似可知第2个命题也成立 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞þ→✛➼♥➀⑧, ❡Cm×n = Am×sBs×n, ❑Ý✡C✛✎➉þ⑤❯❞Ý ✡A✛✎➉þ⑤❶✺▲➠, B➃ù➌▲➠✛❳êÝ✡. Ó➒C✛✶➉þ⑤❯ ❞B✛✶➉þ⑤❶✺▲➠, A➃ù➌▲➠✛❳êÝ✡. C = γ T 1 γ T 2 . . . γ T m = a11 a12 · · · a1s a21 a22 · · · a2s . . . . . . . . . am1 am2 · · · ams β T 1 β T 2 . . . β T m = AB ➼ ♥ ❡A Ð✤✶❈❺ ∼ B, ❑A✛ ✶ ➉ þ ⑤ ❺B✛ ✶ ➉ þ ⑤ ✤ ❞. ❡A Ð✤✎❈❺ ∼ B, ❑A✛✎➉þ⑤❺B✛✎➉þ⑤✤❞. ② A Ð✤✶❈❺ ∼ B =⇒ B✛③❻✶➉þÑ➫A✛✶➉þ⑤✛❶✺⑤Ü. =⇒ B✛✶➉þ⑤❯❞A✛✶➉þ⑤❶✺▲➠. Ð✤❈❺➀❴=⇒ B Ð✤✶❈❺ ∼ A =⇒ A✛③❻✶➉þÑ➫B✛✶➉þ⑤✛ ❶✺⑤Ü. =⇒ A✛✶➉þ⑤❯❞B✛✶➉þ⑤❶✺▲➠. ↕➧, A✛✶➉þ⑤❺B✛✶➉þ⑤✤❞. ❛q➀⑧✶2❻➲❑➃↕á.
