西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第五章 矩阵的相似变换（5-3）实对称矩阵的相似矩阵

§53实对称矩阵的相似矩阵 目的:对于实对称矩阵A(A=A),求正交矩阵Q(QQ=E), 使得Q'AQ=A.此时称A正交相似于对角矩阵A 1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6A1=A→∈R 证设Ax=4x(x≠0),x=(51,52,…5n),则有 xx=52+52+…+5n>0 xTAx=x(Ax)=x(x)=n(xx) x Ax=(x A )x=(ax)x=(ax)'x=n(r x 故A(xx)=元 (元-)(x 即=→∈ [注]λ∈R→(A-元E)x=0的解向量可取为实向量 约定:实对称矩阵的特征向量为实向量. 定理7A=A,特征值礼1≠2,特征向量依次为p1,P2,则p1⊥P2 证1=11,42=λ2P2 p1Ap2=p1(4p2)=m(A2n2)=2(pP2) nAp2=nAP2=(An1)p2=(1P1)P2=41(mP2) 故41(p1p2)=2(pp2)→DP2=0→P1⊥P2(:λ≠2) 例6设实对称矩阵A3x3的特征值λ1=1,2=3,3=-3,属于A1,2的

9 §5.3 实对称矩阵的相似矩阵 目的：对于实对称矩阵 A ( ) T A = A , 求正交矩阵 Q ( ) T Q Q = E , 使得 Q AQ =  T ．此时, 称 A 正交相似于对角矩阵  ． 1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理 6 R T A = A    ． 证 设 Ax =  x (x  0) , T 1 2 ( , , , ) x =     n , 则有 0 2 2 2 2 1 T x x =  +  ++  n  ( ) ( ) ( ) T T T T x Ax = x Ax = x  x =  x x ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T x Ax = x A x = Ax x =  x x =  x x 故 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 T T T  x x =  x x   −  x x =   −  = 即  =     R ． [注]   R  (A −  E)x = 0 的解向量可取为实向量． 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量． 定理 7 A = A T , 特征值 1  2 , 特征向量依次为 1 2 p , p , 则 p1⊥ p2． 证 Ap1 = 1 p1 , Ap2 = 2 p2 ( ) ( ) ( ) 2 T 2 2 2 1 T 2 1 T 2 1 T p1 Ap = p Ap = p  p =  p p ( ) ( ) ( ) 2 T 2 1 1 T 2 1 1 T 2 1 T T 2 1 T p1 Ap = p A p = Ap p =  p p =  p p 故 ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 2 T 2 1 T 2 2 1 T 1 p1 p =  p p  p p =  p ⊥ p    ． 例 6 设实对称矩阵 A33 的特征值 1 = 1, 2 = 3, 3 = −3 , 属于 1 2  , 的

特征向量依次为p p1 求A 解设n2-|x2,由PLP3,P可得{x1-x2=0 x x1+x,+x3=0 该齐次方程组的一个非零解为p3= 2 令P=(P,P2,P2)=-111,A=3 01-2 则有P-AP=A→A=PAP=01 22-1 2 2 l/3 2.正交矩阵:实矩阵Qm满足QQ=E时,称为正交矩阵 (1)Q是正交矩阵兮Q=Q (2)Q是正交矩阵分QQ=E )g=1…9是正交矩阵,41=1(=12…,m) lq;,q,=0(i≠j 即Q的列向量组是两两正交的单位向量 (4)Q 是正交矩阵 la;,c;l=1(i=1,2,…,n) lar,a=0(≠ 10

10 特征向量依次为           = − 0 1 1 p1 ,           = 1 1 1 2 p , 求 A ． 解 设           = 3 2 1 3 x x x p , 由 p1⊥ p3 , p2⊥ p3 可得    + + = − = 0 0 1 2 3 1 2 x x x x x 该齐次方程组的一个非零解为           − = 2 1 1 p3 ． 令           − = = − 0 1 2 1 1 1 1 1 1 ( , , ) P p1 p2 p3 ,           − = 3 3 1  则有           − =  = = − − 2 2 1 0 1 2 1 0 2 1 1 P AP  A PP [注] T 1 T 1 6 1 3 1 2 6 3 2 P P P P            =           = −           − − = 1 1 2 2 2 2 3 3 0 6 1 2．正交矩阵：实矩阵 Qnn 满足 Q Q = E T 时, 称为正交矩阵． (1) Q 是正交矩阵 1 T  Q = Q − ． (2) Q 是正交矩阵  QQ = E T ． (3)   Q = q1  qn 是正交矩阵    =  = =  [ , ] 0 ( ) [ , ] 1 ( 1,2, , ) q q i j q q i n i j i i  , 即 Q 的列向量组是两两正交的单位向量． (4)           = n Q    1 是正交矩阵    =  = =  [ , ] 0 ( ) [ , ] 1 ( 1,2, , ) i j i n i j i i     

即Q的行向量组是两两正交的单位向量 定理8A1=A→存在正交矩阵Q,使得QAQ=A.(阅读8385页) 推论设AT=A,若九是A的r重特征值,则对应于特征值x一定有r个 线性无关的特征向量.(对比定理4) 例7对下列矩阵A,求正交矩阵Q,使得Q4Q=A: 101 22 (1)A=011,(2)A=212,(3)A 0111 10 112 221 解(1)g()=-A(-1)(λ-3) 对应于特征值=0,2=1,3=3的特征向量依次为 PI P2 (定理7保证它们两两正交)构造正交矩阵Q和对角矩阵A: 1/3-1/√21/√6 Q /z1/√6 02/√6 则有QAQ=A (2)gp()=-(-5)4+1)2,属于A1=5的特征向量为p1= 求属于λ2=A3=-1的两个特征向量(凑正交): A-(-1)E=222|→000,P2=1|,P3= 000

11 即 Q 的行向量组是两两正交的单位向量． 定理 8 A T = A  存在正交矩阵 Q , 使得 Q AQ =  T ．（阅读 83-85 页） 推论 设 A = A T , 若  是 A 的 r 重特征值, 则对应于特征值  一定有 r 个 线性无关的特征向量．（对比定理 4） 例 7 对下列矩阵 A , 求正交矩阵 Q , 使得 Q AQ =  T ： (1)           = 1 1 2 0 1 1 1 0 1 A , (2)           = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , (3)             − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A ． 解 (1) () = −( − 1)( − 3) 对应于特征值 1 = 0, 2 = 1, 3 = 3 的特征向量依次为           − − = 1 1 1 p1 ,          − = 0 1 1 p2 ,           = 2 1 1 p3 （定理 7 保证它们两两正交）构造正交矩阵 Q 和对角矩阵  ：           − − − = 1 3 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 Q ,           = 3 1 0  则有 Q AQ =  T ． (2) 2 () = −( − 5)( + 1) , 属于 1 = 5 的特征向量为           = 1 1 1 1 p ． 求属于 2 = 3 = −1 的两个特征向量（凑正交）：           →           − − = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 行 A E ,          − = 0 1 1 p2 ,           − = 2 1 1 p3

(定理7保证它们两两正交)构造正交矩阵Q和对角矩阵A: 1/3 则有QAQ=A (3)q(4)=(元-1)(+3) 求属于λ=2=13=1的3个特征向量(凌正交): 111-1 A-IE 1-1-1 0000 (它们两两正交) 0 属于孔1=-3的特征向量为p4= 构造正交矩阵Q和对角矩阵A: l/2-1/2 A= 1212 1/2-1/2-1/2 则有QAQ=A

12 （定理 7 保证它们两两正交）构造正交矩阵 Q 和对角矩阵  ：           − − = 1 3 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 Q ,           − = − 1 1 5  则有 Q AQ =  T ． (3) ( ) ( 1) ( 3) 3   =  −  + 求属于 1 = 2 = 3 = 1 的 3 个特征向量（凑正交）：            − − →             − − − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 行 A E             = 0 0 1 1 p1 ,             = 1 1 0 0 2 p ,             − − = 1 1 1 1 3 p （它们两两正交） 属于 4 = −3 的特征向量为             − − = 1 1 1 1 4 p 构造正交矩阵 Q 和对角矩阵  ：               − − − − = 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 Q ,             − = 3 1 1 1  则有 Q AQ =  T ．

3.典型题 例8已知A-x4可对角化,=2是A的2重特征值 求可逆矩阵P,使得P-AP=A 解A-2E=x2y{02-xx+y 3-3 00 A可对角化→对应=2有两个线性无关的特征向量 →mank(A-2E)=1→x=2,y= 设λ=A2=2,则有 trA=1+2+A3→10=4+3→λ3=6 此时A=24-2|,A 求得p1= P P 令P=10-2,则有PAP=A. 200 例9已知A=2x2相似于B=2,求x和 解trA=trB→x-1=y+1→y=x-2 det(A-2E)=0→4x=0→x=0 故 0

13 3．典型题 例 8 已知           − − − = 3 3 5 4 1 1 1 A x y 可对角化,  = 2 是 A 的 2 重特征值, 求可逆矩阵 P , 使得 =  − P AP 1 ． 解           − + − − →           − − − − − = 0 0 0 0 2 1 1 1 3 3 3 2 1 1 1 A 2E x y x x y 行 A 可对角化  对应  = 2 有两个线性无关的特征向量  rank (A− 2E) = 1  x = 2, y = −2 设 1 = 2 = 2, 则有 trA = 1 + 2 + 3  10 = 4 + 3  3 = 6 此时           − − − − = 3 3 5 2 4 2 1 1 1 A ,           = 6 2 2  求得          − = 0 1 1 p1 ,           = 1 0 1 p2 ,           = − 3 2 1 p3 令           − − = 0 1 3 1 0 2 1 1 1 P , 则有 =  − P AP 1 ． 例 9 已知          − = 3 1 1 2 2 2 0 0 A x 相似于          − = y B 2 1 , 求 x 和 y ． 解 trA = trB  x − 1 = y + 1  y = x − 2 det(A− 2E) = 0  4x = 0  x = 0 故 x = 0, y = −2．

例10设A=5a3|的一个特征向量为-1|,求A的全体 特征值与特征向量 =-1 解=:a+2=→{a=-3,A=5-33 b+1 孔(b=0 q(4)=(+1)3,λ=2=13= 3-121「101 A-(-1)E=5-23→011 rank(A-(-1)E)=2→对应=-1只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为x=k11(k1≠0)

14 例 10 设           − − − = 1 2 5 3 2 1 2 b A a 的一个特征向量为           − = 1 1 1  1 , 求 A 的全体 特征值与特征向量． 解 A 1 = 1 ：      = = − = −            − =           + + − 0 3 1 1 2 1 b a b a     ,           − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 A 3 () = ( + 1) , 1 = 2 = 3 = −1           →           − − − − − − = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 5 2 3 3 1 2 ( 1) 行 A E rank (A − (−1)E) = 2  对应  = −1 只有 1 个线性无关的特征向量 全体特征向量为 ( 0) x = k1 1 k1 