华北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第三章 线性方程组 §3 齐次线性方程组的基础解系 §4 非齐次线性方程组解的结构

§3齐次线性方程组的基础解系 齐次线性方程组 +…+a1nxn=0 a1x+a2x2+…+a2nxn=0 (1) 可写成向量(或矩阵)方程为Aa=0 (2) 其中A= 0 若x,x2…,x是(1)的解,则称a=:为(1)(或(2))的解向量。 解向量的性质 定理1:设a1,a2是(1)的两个解向量,则a12a2的任一线性组合 a=ka1+k2a2仍为(1)的解向量。 证:将α=k∝1+k2a2代入(2)左边,得 Ad=A(k,a,+k,a2)=kAd,+k,,=0+0=8m 定义1:设a1,a2…是齐次线性方程组(1)的r个解向量,如果 1)a1,a2…;a,线性无关 2)(1)的任一解向量a是a1,a2…,a,的线性组合。 则称a1,a2,…,∝,为(1)的一个基础解系。 (注,(1)的基础解系是(1)的解向量组的一个最大无关组) 、基础解系的求法 1、设R(A)=r,且A的左上角的r阶子式 0

§3 齐次线性方程组的基础解系 一、 齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （1） 可写成向量（或矩阵）方程为  = （2） 其中                = m m mn n n a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x  2 1  ， m               = 0 0 0   若 n x , x , , x 1 2  是（1）的解，则称               = n x x x  2 1  为（1）（或（2））的解向量。 二、解向量的性质 定理 1： 设 1 2  , 是（1）的两个解向量，则 1 2  , 的任一线性组合  11 22 = k + k 仍为（1）的解向量。 证： 将  11 22 = k + k 代入（2）左边，得  =  ( ) 11 22 k + k = 11 + 22 k k = + = ∥ 定义 1：设   r , , , 1 2  是齐次线性方程组（1）的 r 个解向量，如果 1)   r , , , 1 2  线性无关； 2) （1）的任一解向量  是   r , , , 1 2  的线性组合。 则称   r , , , 1 2  为（1）的一个基础解系。 （注，（1）的基础解系是（1）的解向量组的一个最大无关组） 二、 基础解系的求法 1、 设 R(A) = r ，且  的左上角的 r 阶子式 0 1 11 1  r rr r a a a a   

则易知方程组(1)的同解方程组为 a1X …+a,X ax a xx (3) an1x1+……+anx=-an,r+1x+1=…一amxn 其中x1x,2,…xn为自由未知量。现在分别取 0 0 (4) 为nr个线性无关的单位向量。由此,可求得(3)的nr个解向量,设依次 b1)(b 为 (5) b:)(b 将(4)、(5)合在一起,得到(1)的nr个线性无关的解向量。 Ln-r 2,n-r an-r=Dr,n-r (6) 2、(6)式中的a1,α2…an就是(1)的一个基础解系。 (若 是(1)的解,则

则易知方程组（1）的同解方程组为        + + = − − − + + = − − + + = − − − + + + + + + r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x             1 1 , 1 1 21 1 2 2, 1 1 2 11 1 1 1, 1 1 1 （3） 其中 r r n x x , , x +1, +2  为自由未知量。现在分别取               + + n r r x x x  2 1 =               0 0 1  ，               0 1 0  ，……，               1 0 0  （4） 为 n-r 个线性无关的单位向量。由此，可求得（3）的 n-r 个解向量，设依次 为               r x x x  2 1               = 1 21 11 r b b b  ，               2 22 12 r b b b  ，……，               − − − r n r n r n r b b b , 2, 1,  （5） 将（4）、（5）合在一起，得到（1）的 n-r 个线性无关的解向量。                       = 0 0 1 21 11 1   r b b b  ，                       = 0 0 2 22 12 2   r b b b  ……，                         = − − − − 1 0 , 2, 1,   r n r n r n r n r b b b  （6） 2、（6）式中的 n−r 1 , 2 ,  , 就是（1）的一个基础解系。 （ 若                     + n r r a a a a   1 1 是（1）的解，则

0 0 综上所述,得关于方程组(1)的基础解系定理 定理2(i)当R(A)=n时,(1)仅有零解,无基础解系 (ⅱ)当R(A)=r<n时,(1)有基础解系(6),(1)的解可表示为 a=k1a1+k2a2+……+ k a (7) 其中k1,…kn为任意实数。(7)称为方程组(1)的通解(一般解) 注:(1)的任何nR(A)个线性无关解向量都是(1)的基础解系 0 例1:求齐次线性方程组 x1+x2-2x3+3x4=0 的一个基础解系和通解 3x1-x2+8x3+x4=0 +3x2-9x2+7x=0 解:将增广矩阵变为三阶梯形(用行初等变换) 1-15-1:0 11-23:0 02-74:0 02-74:0 3-181:0102-74:0 0000:0 13-97:0 -148:0 0000:0 原方程组同解于 x1-x2+5x3-x4=0 2x2-7x3+4x4=0 5x2 即 (x,x为自由未知量) 2x2=7x3-4 分别取 7

                    n r a a a a   2 1                     = + 0 1 1 11 1   r r b b a                       + + 0 0 2 22 12 2   r r b b b a                     + + 0 0 1    rn n n b b a 综上所述，得关于方程组（1）的基础解系定理 定理 2 （i ）当 R(A) = n 时，（1）仅有零解，无基础解系。 （ii）当 R(A) = r  n 时，（1）有基础解系（6），（1）的解可表示为  n r n r k k k = 11 + 2 2 ++ −  − （7） 其中 n r k k − , , 1  为任意实数。（7）称为方程组（1）的通解（一般解） 注：（1）的任何 n- R(A) 个线性无关解向量都是（1）的基础解系。 例 1：求齐次线性方程组        + − + = − + + = + − + = − + − = 3 9 7 0 3 8 0 2 3 0 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系和通解。 解：将增广矩阵变为三阶梯形（用行初等变换）               − − − − − 1 3 9 7 0 3 1 8 1 0 1 1 2 3 0 1 1 5 1 0     →               − − − − − 0 4 14 8 0 0 2 7 4 0 0 2 7 4 0 1 1 5 1 0     →               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 1 1 5 1 0     原方程组同解于    − + = − + − = 2 7 4 0 5 0 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x 即    = − − = − + 2 3 4 1 2 3 4 2 7 4 5 x x x x x x x （ 3 4 x , x 为自由未知量） 分别取         4 3 x x =         0 1 ，         1 0 得         2 1 x x =             − 2 7 2 3 ，         − − 2 1

于是a=2 为原方程组的一个基础解系,所以原方程的通解 2 为a=ka1+ 0 (其中k1k2为任意常数) 0 例2:求齐次线性方程组/3+1+2x,+ 的一个基础解系 +2x3+3x4+6x=0 5x1+4x,+3x2+2x4+6x=0 解:用行初等变换将系数矩阵化为上阶梯形 11111 01236 01236 00000 54326 00007 000 200 30 00 x1+x2+x3+x4=0 同解于{x12+2x3+3x=0 为自由变量 0 x1+x,=-x3-x 即写成 0 分别取 得 0

于是 1 =                   − 0 1 2 7 2 3  2 =               − − 1 0 2 1 为原方程组的一个基础解系，所以原方程的通解 为  11 22 = k + k =                   − 0 1 2 7 2 3 1 k               − − + 1 0 2 1 2 k （其中 1 2 k , k 为任意常数） 例 2：求齐次线性方程组        + + + + = + + + = + + − = + + + + = 5 4 3 2 6 0 2 3 6 0 3 2 3 0 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系 解：用行初等变换将系数矩阵化为上阶梯形               − 5 4 3 2 6 0 1 2 3 6 3 2 1 0 3 1 1 1 1 1 →               − − − − − − − 0 1 2 3 1 0 1 2 3 6 0 1 2 3 6 1 1 1 1 1 →               0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 2 3 6 1 1 1 1 1 →               0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 同解于      = + + = + + + = 0 2 3 0 0 5 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 3 4 x , x 为自由变量 即写成      = = − − + = − − 0 2 3 5 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 分别取         4 3 x x =         0 1 ，         1 0 得           5 2 1 x x x =           − 0 2 1 ，           − 0 3 2

2 于是a1=1a2=0为原方程组的一个基础解系。 §4非齐次线性方程组解的结构 结构定理 a1x1+a12x2 若一般线性方程组x+a2x2+…+a2=b2 an1xX1+anx+…+ 中的b2b2…bn不全为0,(1)称为非齐次组。 a1x+a2x2+…+anxn=0 若b=b2=…=bn=0即 21x1+a2x2+…+a2nxn=0 (2) 称为(1)对应的齐次组(或导出组) (1)、(2)分别用向量式写为:Aa=B(3)和Aa=0 (4) 其中A b2 B 关于非齐次组解的结构有以下定理 定理:设α是方程(1)的某一特定解向量(称为特解),α1…,an,是导 出组(2)的一个基础解系,则方程组(1)的通解(一般解或全部解)为 a=a+ka1+k2a2+…+kn,a 其中r=R( 证:首先Aa=Aa0+ka1+k2a2+…+kn,an) +k1Aa1+k2Aa2+…+k B+k,8 8=B 所以,(5)是(3)的解,即(1)的解向量

于是 1 =                 − 0 0 1 2 1  2 =                 − 0 1 0 3 2 为原方程组的一个基础解系。 §4 非齐次线性方程组解的结构 一、结构定理 若一般线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 中的 b b bm , , , 1 2  不全为 0，（1）称为非齐次组。 若 b1 = b2 == bm = 0 即        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （2） 称为（1）对应的齐次组（或导出组） （1）、（2）分别用向量式写为：  =  （3）和  = （4） 其中                = m m mn n n a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x  2 1  ，               = mb b b  2 1  ， m               = 0 0 0   关于非齐次组解的结构有以下定理 定理： 设  0 是方程（1）的某一特定解向量（称为特解），  n−r , , 1  是导 出组（2）的一个基础解系，则方程组（1）的通解 （一般解或全部解）为 n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − （5） 其中 r = R(A)。 证： 首先 ( ) 0 1 1 2 2 n r n r A A k k k  =  +  +  ++ −  − = n r A n r A k A k A k 0 + 1 1 + 2 2 ++ −  − =  + k1 +kn−r =  所以，（5）是（3）的解，即（1）的解向量

反之,对于(1)的任一解向量a,易知a-a是(4)的解,又知a1,a2…an 是(4)的一个基础解系,所以,存在数k,k2……kn,使 a-do=k,a,+k,a,+.+k-a 即:a=a+k1a1+k2a2+…+k-an 推论:在方程组(1)有解的前提下,解为唯一的充要条件是它的导出组 (2)只有零解 三、非齐次组通解的求法 1、一般法:1)先求(1)的一个特解a0 2)再求(2)的基础解系a,a2,…an,(r=R(A)) 3)根据解的结构定理写出(1)的通解(5) a=ao+k,a,+k,a, +.+k,-a (k1,k2……k.为任意常数) 课本上的例子均是按此法求解的 自由未知量法 )用行初等变换,将(1)的增广矩阵化为上阶梯形 2)写出图解方程组并确定自由未知量,如xn1…,x(r=R(A)) 3)将自由未知量x1,…xn依次取为任意常数k1,k2………k可将(1)的解 写为(5)的形式 X1 x+x xa+ x 例1:求方程组 R2-x 的通解 3x1-2x2-x3+x4-2x5=2 2x1-5x2+x3-2x4+2x5 解:用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵 21-123:2 01 00:1 P 008-45:5 51-22:1 00000:0 Xs 由此得同解方程组 x2+x3 8x3-4x4+5x5=5 取x4,x5为自由未知量,并令x4=k,x=k得

反之，对于（1）的任一解向量  ，易知  −0 是（4）的解，又知 n−r 1 , 2 ,  , 是（4）的一个基础解系，所以，存在数 n k k k 1 2 , ，使 n r n r k k k  −0 = 11 + 22 ++ −  − 即： n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − 证毕 推论：在方程组（1）有解的前提下，解为唯一的充要条件是它的导出组 （2）只有零解。 三、 非齐次组通解的求法 1、 一般法：1）先求（1）的一个特解  0 2）再求（2）的基础解系 n−r 1 , 2 ,  , ，（ r = R(A) ） 3）根据解的结构定理写出（1）的通解（5） n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − （ n r k k k 1 2  − , 为任意常数） 课本上的例子均是按此法求解的。 2、 自由未知量法： 1）用行初等变换，将（1）的增广矩阵化为上阶梯形。 2）写出图解方程组并确定自由未知量，如 r n x , , x +1  （ r = R(A) ） 3）将自由未知量 r n x , , x +1  依次取为任意常数 n r k k k 1 2  − , 可将（1）的解 写为（5）的形式。 例 1：求方程组        − + − + = − − + − = + − + − = − + − + = 2 5 2 2 1 3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解 解：用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵               − − − − − − − − 2 5 1 2 2 1 3 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 1     p.163               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 5 5 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1     由此得同解方程组      − + = + = − + − + = 8 4 5 5 1 2 1 3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x 取 4 5 x , x 为自由未知量，并令 4 1 5 2 x = k , x = k 得

x1-2x2+x3=1+k1-k2(1) x2+x3=1 8x3=5+4k1-5k2(3) ()-1(3)x2=1-5 (4) 828 回代,得(1)-(2):x-3x2=k-k2(5) 9 (4)代入(5)x8-2+k,于是得通解为: 9-83-85-8 k,+k k,+=k x k 9-83-85-800 2 k2 0 9-83-85800 8 其中a0 是原方程的一个特解,a1= a2=-。是导出组的 基础解系 x,+ x2+x3+ x4+ xs 例2:求方程组 x1+3x2+x3+x4-3x5=0 的一般解 x1+2x3+2 4x1+5x,+3x2+3 4 解:用初等行变换化成增广矩阵 l111:2 2311-3:0 01-1-1-5:-4 00226:6 00000:0 4533-1:4 00000:0

     = + − + = − + = + − 8 5 4 5 (3) 1 (2) 2 1 (1) 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 x k k x x x x x k k ( ) (3) 8 1 2 − 8 5 2 1 8 5 x2 =1− − k1 + （4） 回代，得（1）-（2）： 1 3 2 1 2 x − x = k − k （5） （4）代入（5）： 1 1 2 8 7 2 1 8 9 x = − k + k ，于是得通解为：                 5 4 3 2 1 x x x x x                               + − − + − + = 2 1 1 2 1 2 1 2 8 5 2 1 8 5 8 5 2 1 8 3 8 7 2 1 8 9 k k k k k k k k                               = 0 0 8 5 8 3 8 9 +                               − − 0 1 2 1 2 1 2 1 1 k +                               − 1 0 8 5 8 5 8 7 2 k 其中  0 =                               0 0 8 5 8 3 8 9 是原方程的一个特解， 1                               − − = 0 1 2 1 2 1 2 1 ， 2 =                               − 1 0 8 5 8 5 8 7 是导出组的 基础解系。 例 2：求方程组        + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 4 5 3 3 4 2 2 6 6 2 3 3 0 2 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解 解：用初等行变换化成增广矩阵               − − 4 5 3 3 1 4 0 0 2 2 6 6 2 3 1 1 3 0 1 1 1 1 1 2     p.165               − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 5 4 1 1 1 1 1 2    

由此得同解组,取x2x4,x3为自由未知量,并依次取为k1,k2,k3得 ∫x+x2=2-x3-x-=2-k-k2一k x2=-4+x3+x4+5x5=-4+k1+k2+5k3 (1)-(2)得x1=6-2k1-2k2-6k3故得原方程组的一般解为 6-2k1-2k2-6k3)(6 -4+k1+k2+5k3 =0|+k1+k20|+k0 k2 0 0 0 k 0 其中ao=0是原方程组的特解,a1=1 0 0 为导出组基础解。 作业: 习题3-31(2)(3),3 3-41,3

由此得同解组，取 3 4 5 x , x , x 为自由未知量，并依次取为 1 2 3 k ,k ,k 得    = − + + + = − + + + + = − − − = − − − 4 5 4 5 (2) 2 2 (1) 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 x x x x k k k x x x x x k k k （1）-（2）得 1 6 2 1 2 2 6 3 x = − k − k − k 故得原方程组的一般解为                 5 4 3 2 1 x x x x x                 − + + + − − − = 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 2 6 k k k k k k k k k                 − = 0 0 0 4 6                − + 0 0 1 1 2 1 k                − + 0 1 0 1 2 2 k                − + 1 0 0 5 6 3 k 其中                 − = 0 0 0 4 6 0 是原方程组的特解，                − = 0 0 1 1 2 1 ，                − = 0 1 0 1 2  2 ，                − = 1 0 0 5 6 3 为导出组基础解。 作业： 习题 3-3 1（2）（3）， 3 3-4 1，3