实践应用 问题 三人合作效益分配问题 问题的提出: 一般来说,从事某一活动(比如经济活动、社会活动)的各个方面若能同李合作,往往 能够 获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益(或分担这些费用) 方案是促成合作的前提,我们先研究一个简单的例子。 设甲、乙、丙三人经商,若个人单干,每人仅获利1元:若甲、乙合作可获利7元;甲 丙合作 可获利5元:乙丙合作可获利4元;若三人合作可获利10元。问三人合作时应如何合理地 分配这10 元的利益。 问题的解答 我们自然会想到列方程解决问题,设甲、乙、丙三人应各得x1,x2,x3元,则应满足 (1)x1+x2+x3=10 (2)x1,x2,x3≥1,x1+x2≥1,x1+x3≥5,x2+x3≥4 (2)式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足(1)、(2)的 有很多,如(x1,x2,x3)=(53,2),(1,x2x3)=(44,2 (x1x2,x2)=(43.52.5)
实践应用 问题一 三人合作效益分配问题 问题的提出： 一般来说，从事某一活动（比如经济活动、社会活动）的各个方面若能同李合作，往往 能够 获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益（或分担这些费用） 的 方案是促成合作的前提，我们先研究一个简单的例子。 设甲、乙、丙三人经商，若个人单干，每人仅获利 1 元；若甲、乙合作可获利 7 元；甲 丙合作 可获利 5 元；乙丙合作可获利 4 元；若三人合作可获利 10 元。问三人合作时应如何合理地 分配这 10 元的利益。 问题的解答： 我们自然会想到列方程解决问题，设甲、乙、丙三人应各得 元，则应满足 （1） （2） ， ， ， （2）式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足（1）、（2）的 解 有很多，如 ，
等。那一组解最合理?如何求出最合理的解呢? 先看几种特殊情形下利益的分配: 首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力,而三人合作经商能获利1元,把 该合作记为23,合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得三元 又设三人单独经商均无获利,甲、乙合作获利1元,甲、丙合作、乙、丙合作均无获 利 甲、乙、丙三人合作获利1元,记该合作为2,我们认为合理的分配方法是丙的获利为0 元,甲乙的获利相等各位一元 再设三人合作中,只要有甲参加就获利1元,否则获利为0元,此合作记为,合理 的分 配方案是甲获利1元,乙丙个获利0元。 同理,可定义合作2,召3,V13,V23,且可给出合理的分配方案 以上所讨论的合作,2,召,2,3,23,23可以认为是最简单 的三人合作,可称为基本合作,其他任意一种合作都可以由这7个合作都可以由这7个基本 合作线 性表示出来,如果我们问题中的合作成为V,那么可得 v=+v2+73+512+3713+223-3123 甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的,所以 甲的获利为1+5×+3×--3×==4元 22
等。那一组解最合理？如何求出最合理的解呢？ 先看几种特殊情形下利益的分配： 首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力，而三人合作经商能获利 1 元，把 该合作记为 ，合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得 元。 又设三人单独经商均无获利，甲、乙合作获利 1 元，甲、丙合作、乙、丙合作均无获 利， 甲、乙、丙三人合作获利 1 元，记该合作为 ，我们认为合理的分配方法是丙的获利为 0 元，甲乙的获利相等各位 元。 再设三人合作中，只要有甲参加就获利 1 元，否则获利为 0 元，此合作记为 ，合理 的分 配方案是甲获利 1 元，乙丙个获利 0 元。 同理，可定义合作 ， ， ， ，且可给出合理的分配方案。 以上所讨论的合作 ， ， ， ， ， ， 可以认为是最简单 的三人合作，可称为基本合作，其他任意一种合作都可以由这 7 个合作都可以由这 7 个基本 合作线 性表示出来，如果我们问题中的合作成为 ，那么可得： 甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的，所以 甲的获利为 元
乙的获利为1+5×二+2×-3×=3.5元 丙的获利为1+3×二+2×-3×二=2.5元 问题二 遗传模型 问题的提出: 遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病,我们把常染色体的 基因记为A,不正常基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常 人、隐性患者、显性患者的基因型,假设初始状态为AA、Aa、aa基因的 人口所占的百分比分别为a0、如、C,讨论在以下两种情况下第n代人口中 这三类人口所占的比例 (1)控制结合:显性患者不能生育后代:隐性患者只能与正常人结合生于后代 (2)自由结合:这三种基因的人任意结合生育后代 问题的解答 表一基因转移关系 概率 父母基因型
乙的获利为 元 丙的获利为 元 问题二 遗传模型 问题的提出： 遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病，我们把常染色体的 基因记为 ，不正常基因记为 ，并以 、 、 分别表示正常 人、隐性患者、显性患者的基因型，假设初始状态为 、 、 基因的 人口所占的百分比分别为 、 、 ，讨论在以下两种情况下第 n 代人口中 这三类人口所占的比例。 （1） 控制结合：显性患者不能生育后代；隐性患者只能与正常人结合生于后代。 （2） 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。 问题的解答： 表一 基因转移关系 概率 父母基因型
AAAA aa AA aa-aa AA Aa AA 1-41 子代基因Aa 0 型 1-2120 0 2 01212 0 4 我们将AA型、Aa型、aa型基因对的人在第n代的人口中所占的比例记 为x(U)、x2(a)、x3(n),由假设x(0)=a0、x2(0)=b x 在(1)控制结合的情况下,从n=1开始有x3(0)=C0,即不再有显性患 者,由表一可得转移矩阵为 2 所有遗传模型x()=X(-1)n=1 递推得(n)=xx(0)n=12 b 2 0
- - - - - 子代基因 型 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 我们将 型、 型、 型基因对的人在第 n 代的人口中所占的比例记 为 、 、 ，由假设 、 、 。 在（1）控制结合的情况下，从 开始有 ，即不再有显性患 者，由表一可得转移矩阵为 所有遗传模型 递推得 即
由此看出隐性患者的比例x2()随n的增大将逐渐消失,这正是我们所希望的。 在(2)中自由结合时,三种基因型人口随机结合而生育后代,这也是自然界生 物群体的一种最简单的结合方式,我们还需要两点假设 1.三种基因的两性人口总相等 2.每一个属于AA型、Aa型、aa型基因的第n代全体,都以 x1(n)x2(n):x2(n)的数量比例为概率,与每一个属于A4型、Aa 型、aa型基因的异性结合生育后代。 由于三种基因的初始分布为a0、b、Co,基因A和a在人口群体中出现 的概率(实际为频率)为p=a0+b,q=C0+b,显然 p+q=a0+b+co=1,再由表一所示的基因转移关系,可以求出父母代为 AA型、Aa型、aa型基因时的转移矩阵分别为 2 24 00 12 T2=1 0 2 000 0 0 遗传模型分别为: x(+1)=1x(n x(+1)=z2x()
由此看出隐性患者的比例 随 n 的增大将逐渐消失，这正是我们所希望的。 在（2）中自由结合时，三种基因型人口随机结合而生育后代，这也是自然界生 物群体的一种最简单的结合方式，我们还需要两点假设： 1．三种基因的两性人口总相等； 2．每一个属于 型、 型、 型基因的第 n 代全体，都以 ： ： 的数量比例为概率，与每一个属于 型、 型、 型基因的异性结合生育后代。 由于三种基因的初始分布为 、 、 ，基因 和 在人口群体中出现 的概率（实际为频率）为 ， ，显然 ，再由表一所示的基因转移关系，可以求出父母代为 型、 型、 型基因时的转移矩阵分别为： ， ， 遗传模型分别为：
x(n+1)=3x(n) =1,2,… 再由假设2可知自由结合的遗传模型为 (+1)=ax()+2x()+can3x() (an1+bn2+c073)(n)n=12 (1) 令T=a0Z1+b2+C073 24 000 =anlo 2 222 o/11 000 1 0 0 21-2 ao+bo bo tCo gg 利用线性代数中的矩阵对角化的方法,求得?的特征值为S P=-2-q22,P=-2qp-q2p
再由假设 2 可知自由结合的 遗传模型为 （1） 令 利用线性代数中的矩阵对角化的方法，求得 的特征值为
所以T=P D pg p =-2p-92pg D-q22 0 0 epq-2p p-q2 0 p2+2p2-2np2-2 2 pg+ 2pg 2 pa 2 pg pg-g 故由(1)式 x(+1)=x()=72x(-1)=A=7+(0
所以 故由（1）式
2, 2g+ 9-q 2pg (-q) 2pa+ 2 2,p-q 2 式(2)就是遗传学上著名的哈代一温伯格平衡原理,它表明以后各代子女中 A、a基因的分布永远是P2,2D,q2,即正常人、隐性患者、显性患者在 人口中的所占的比例不变,这说明在一个随机结生育后代的群体中的遗传病是不会 由于一代一代的遗传而患者越来越多,当然也不会越来越少,而是始终处于一种平 衡状态,由此看来,为了避免一些遗传病的发生,最好采用一些控制结合手段 问题三 基因问题 问题的提出 农场的植物园中,某种植物的基因型为44,Aa,a,农场计划采用AA型植物与每种基因型植 物相结合的方案培育植物后代,已知双亲体基因型与其后代基因型的概率(见附表) 父体-母体基因型 A-AA a AA-aa 后代|A 1/2
(2) 式（2）就是遗传学上著名的哈代—温伯格平衡原理，它表明以后各代子女中 、 基因的分布永远是 ，即正常人、隐性患者、显性患者在 人口中的所占的比例不变，这说明在一个随机结生育后代的群体中的遗传病是不会 由于一代一代的遗传而患者越来越多，当然也不会越来越少，而是始终处于一种平 衡状态，由此看来，为了避免一些遗传病的发生，最好采用一些控制结合手段。 问题三 基因问题 问题的提出： 农场的植物园中，某种植物的基因型为 ，农场计划采用 型植物与每种基因型植 物相结合的方案培育植物后代，已知双亲体基因型与其后代基因型的概率（见附表） 父体-母体基因型 AA-AA AA-Aa AA-aa 后 代 AA 1 1/2 0
基因 0 1/2 问:经过若干年后三种基因型分布如何? 解:用an,,分别表示第n代植物中,基因型4AAa,a的植物占植物总数的百分 率(n2=012…)令x()为第n代植物基因型分布:x01=(a,,),n=0 x()-(a0,c0)显然,初始分布有ao+b+co=1 1.a-1 +二b1+0,C21 由上表可得关系式: ba1+1,cx1(n=1,2 cx=0,a2-1+0,b21+0, 即 x(a)=M. x( M=01/21 其中 从而,x()=21=M2,x2)=…=Mx0为计算M将对M对角化,即求可逆阵P 使,PMP=D既M=PDPD为对角阵
基 因 型 Aa 0 1/2 1 aa 0 0 0 问：经过若干年后三种基因型分布如何？ 解：用 分别表示第 n 代植物中，基因型 的植物占植物总数的百分 率（ 令 为第 n 代植物基因型分布： 时 显然，初始分布有 由上表可得关系式： 即： 其中 从而， 为计算 将对 M 对角化，即求可逆阵 P, 使， 既 D 为对角阵
1-1/20 E-A=02-1/2-1=(-1)2--) 0 23=0 所以M的特征值为 21 2,2,3特征向量分别可取 =(e1,e2,e3) 可计算 00 PMP=D=01/20 从而 M= PDP 于是,M=PDNP-1 2)=MNx()=PD”P-1x(0) ax-a0+bo+co-G"Bo b=()”bo+(a)co 当→时,an→1.b2→0.c8=0 故在极限情况下,培育的植物都是AA型
由于 所以 M 的特征值为： ，对于 特征向量分别可取 ， , 令 可计算： 从而 ， 于是， 既 当 故在极限情况下，培育的植物都是 AA 型