冷同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by iateX §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 第三章矩阵的初等变换与线性方 线性方程组的解 程组 §4初等矩阵 本章总结 Chapter li elementary reductions of Matrices and Systems of Linear Equations 主讲张少强 主讲人:张少强 44P sqzhang@mail.tinu.edu.cn 第1页共41页 计算机与信息工程学院 全屏显示 天津师范大学
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶♥Ù Ý✡✛Ð✤❈❺❺❶✺➄ ➜⑤ Chapter III Elementary Reductions of Matrices and Systems of Linear Equations ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学
§1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 3线性方程组的解 本章主要内容f介 本章总结 1.通过消元法( Gauss’ Method)线性方程组来引进。阵的初 主讲:张少 等变换。 2.利用。阵的“秩”来讨论线性方程组的。的情况 44 3.最后介绍单位。阵经初等变换得到初等。阵” 第2页共41页 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵ 1. Ï▲➒✄④↔Gauss✳Method↕✮❶✺➄➜⑤✺Ú❄Ý✡✛Ð ✤❈❺✧ 2. ⑤❫Ý✡✛“➑”✺❄Ø❶✺➄➜⑤✛✮✛➐➵✧ 3. ⑩✵☛ü➔Ý✡➨Ð✤❈❺✚✔“Ð✤Ý✡
1$1矩阵的初等变换 上章提到线性方程组的一般形式 31矩阵的初等吏换 111+a12℃2+… 3线性方程组的解 a211+a2X2+…+a2nxn=b2, §4初等矩阵 本章总结 amI1+am2C2+.+amnOn= bm 主讲:张少 b1 标题页 系数矩阵A=(a1),未知数向量x= 常数项向量b 增 44 72 b1 第3页共41页 广矩阵B=(A|b) 若常数项向量b=O,则 全屏显示 aml am2 称为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ þÙ❏✔❶✺➄➜⑤✛➌❸✴➟ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm, ❳êÝ✡A = (aij), ➍⑧ê➉þx = x1 x2 . . . xn , ⑦ê➅➉þb = b1 b2 . . . bm , ❖ ✷Ý✡B = (A|b) = a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn bm . ❡⑦ê➅➉þb = O, ❑ →➃à❣❶✺➄➜⑤,➘❑➃➎à❣❶✺➄➜⑤
下面我们讨论矩阵的初等变换它在解线性方程组,求矩阵的逆等理论中 有重要的应用.为了引进矩阵的初等变换,先来分析用消元法(又叫高斯 矩 初等变换 法)解线性方程组的例子 引例求线性方程组的解 §4初等, 矩 本章总结 4 2.① +x2-2 +x4=4 主讲:张少 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③ +6 9x3+74=9,④ 标题页 44 解 x1+x2-2x3+x4=4,① +C 第4页共41页 2.③ (B1) 3x1+6x2-9x3+7x4=9, 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→➲❶❄ØÝ✡✛Ð✤❈❺, ➜✸✮❶✺➄➜⑤, ➛Ý✡✛❴✤♥Ø➙ ❦➢❻✛❆❫. ➃✡Ú❄Ý✡✛Ð✤❈❺, ❦✺➞Û❫➒✄④(q✗♣❞ ④)✮❶✺➄➜⑤✛⑦❢. Ú⑦ ➛❶✺➄➜⑤✛✮ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✖ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✗ 4 x1 −6 x2 +2 x3 −2 x4 = 4, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (1) ✮ (1) ✖↔✗ ✘÷2 −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✗ 2 x1 −3 x2 + x3 − x4 = 2, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (B1)
1+x2-2x3+T4 4 ④-3① 2x2-2x3+2x4 5x2+5 3 -6.③ 3 3x3+4 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 33线性方程组的解 ③+5② x1+x2-2x3+x4 4.① ④-3② 3+x4 本章总结 6.③ (B3) 去③和④的r2的时,碰巧把r3也消去了 +x4 4.① ④-2③ 3+e 0,② 3,③ (B4) 0 第5页共41页 此时④是恒等式,若不是恒等式就说明方程组无解 (B4)是4个未知量3个有效方程的方程组,肯定有个自由未知变量,“回代”的 全屏显示 方法求解:将③x4=-3代入②得x2=3+3,将x4=-3,x2=x3+3代入 ①,得x1=x3+4
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✗−✘ ✘−2✗ ✙−3✖ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x2 −2 x3 +2 x4 = 0, ✗ −5 x2 +5 x3 −3 x4 = −6, ✘ 3 x2 −3 x3 +4 x4 = −3, ✙ (B2) ✗× 1 2 ✘+5✗ ✙−3✗ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ 2 x4 = −6, ✘ x4 = −3, ✙ (B3) ➒✖✘Ú✙✛x2✛➒,✲⑤rx3➃➒✖✡. ✘↔✙ ✙−2✘ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ x4 = −3, ✘ 0 = 0, ✙ (B4) ❞➒✙➫ð✤➟, ❡Ø➫ð✤➟Ò❵➨➄➜⑤➹✮. (B4)➫4❻➍⑧þ3❻❦✟➄➜✛➄➜⑤, ➆➼❦❻❣❞➍⑧❈þ, “↔➇”✛ ➄④➛✮: ò✘x4 = −3➇❭✗✚x2 = x3 + 3,òx4 = −3, x2 = x3 + 3➇❭ ✖, ✚x1 = x3 + 4
+4 =T3+3 3 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的積 x3可取任何值,可令x3=c,C为任意常数,方程组的解可记为 3线性方程组的解 §4初等矩阵 C+4 4 +3 3 C 主讲:张少 标题页 从上面的引例可以看出解线性方程组用到三种变换: 44 (i)交换方程次序;⑦→⑦ (i)以不等于0的数乘以某的方程;⑦xk 第6页共41页 (i)一个方程加上另一个方程的k倍.⑦+k④ 上述三种变换是可逆的,因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的, 全屏显示 这三种变换是方程组的同解变换所以解(2)是方程组(1)的全解
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 x4 = −3 x3➀✒❄Û❾,➀✲x3 = c, c➃❄➾⑦ê, ➄➜⑤✛✮➀P➃ x = x1 x2 x3 x4 = c + 4 c + 3 c −3 = c 1 1 1 0 + 4 3 0 −3 , (2) ❧þ→✛Ú⑦➀➧✇Ñ✮❶✺➄➜⑤❫✔♥➠❈❺: (i) ✂❺➄➜❣❙; i ↔ j (ii) ➧Ø✤✉0✛ê➛➧✱✛➄➜; i × k (iii) ➌❻➄➜❭þ✱➌❻➄➜✛k✕. i + k j þã♥➠❈❺➫➀❴✛, Ï❞❈❺❝✛➄➜⑤❺❈❺✛➄➜⑤➫Ó✮✛, ù♥➠❈❺➫➄➜⑤✛Ó✮❈❺. ↕➧✮(2)➫➄➜⑤(1)✛✜✮
实际上,在变换的过程中,只有方程组的系数和常数进行运算,而与未知 量α无关.上述的同解变換是对增广矩阵B=(Ab)的变换.是把(A|b)= 2-1-112 11-214 §1矩阵的初等变换 变换成 01-110 33线性方程组的解 4-62-24 0001-3 §4初等矩阵 本章总结 36-979 00000 把方程组的三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换. 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 主讲:张少 (i)对调两行(对调i,j两行记作n+T) 标题页 (i)以数k≠0乘以某一行中所有的元素(第i行乘以k,记作r;×k) 44 (i)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到 第i行上,记作1+k) 第7页共41页 只要把定义1中的“行”都换成“列,把r都换成c,即得矩阵的初等列变换的 定义 全屏显示 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➣❙þ, ✸❈❺✛▲➜➙, ➄❦➄➜⑤✛❳êÚ⑦ê❄✶✩➂, ✌❺➍⑧ þ x➹✬.þã✛Ó✮❈❺➫é❖✷Ý✡B = (A|b)✛❈❺. ➫r(A|b) = 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9 ❈❺↕ 1 1 −2 1 4 0 1 −1 1 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 r➄➜⑤✛♥➠Ó✮❈❺↔❻✔Ý✡þ,Ò✚✔Ý✡✛♥➠Ð✤❈❺. ➼➶1 ❡→♥➠❈❺→➃Ý✡✛Ð✤✶❈❺: (i) é◆ü✶(é◆i, jü✶,P❾ri ↔ rj); (ii) ➧êk 6= 0 ➛➧✱➌✶➙↕❦✛✄❷(✶i✶➛➧k, P❾ri × k); (iii) r✱➌✶↕❦✄❷✛k✕❭✔✱➌✶é❆✛✄❷þ✖(✶j✶✛k✕❭✔ ✶i✶þ, P❾ri + krj). ➄❻r➼➶1➙✛“✶”Ñ❺↕“✎”, rrÑ❺↕c, ❂✚Ý✡✛Ð✤✎❈❺✛ ➼➶. Ý✡✛Ð✤✶❈❺ÚÐ✤✎❈❺Ú→Ý✡✛Ð✤❈❺
三种初等变换是可逆的,且其逆变换是冋一类型的初等变换:逆变换rφ r;的逆变换还是;ωr;变换r;ⅹk的逆变换是r×l;变换r;+kr;的逆变 换为r;+(-k)r 定义若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A和矩阵B等价, §1矩阵的初等变换 记作A~B §2矩阵的秋 33线性方程组的解 矩阵之间的等价关系具有下列性质(任何等价关系都具有下面三个性质) §4初等矩阵 本章总结 1.反身性A~A; 2.对称性A~B→B~A 主讲:张少 3.传递性A~B,B~C=→A 标题页 所有与A等价的矩阵组成一个集合,称为一个等价类. 44 看课本P74,由引例知增广矩阵B经一系列初等行变换能变换成B4 2 第8页共41页 14 01-110 B 0001-3 B 4-62-24 全屏显示 6-979 00000 化简到B4的这种由0组成台阶的形式称为行阶梯形矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥➠Ð✤❈❺➫➀❴✛, ❹Ù❴❈❺➫Ó➌❛✳✛Ð✤❈❺: ❴❈❺ri ↔ rj✛❴❈❺❸➫ri ↔ rj ; ❈❺ri × k✛❴❈❺➫ri × 1 k ; ❈❺ri + krj✛❴❈ ❺➃ri + (−k)rj . ➼➶ ❡Ý✡A➨▲❦⑩❣Ð✤❈❺❈↕Ý✡B, Ò→Ý✡AÚÝ✡B✤❞, P❾A ∼ B. Ý✡❷♠✛✤❞✬❳ä❦❡✎✺➓(❄Û✤❞✬❳Ñä❦❡→♥❻✺➓): 1. ❻✜✺A ∼ A; 2. é→✺A ∼ B =⇒ B ∼ A 3. ❉✹✺A ∼ B, B ∼ C =⇒ A ∼ C ↕❦❺A✤❞✛Ý✡⑤↕➌❻✽Ü,→➃➌❻✤❞❛. ✇➅✢P.74, ❞Ú⑦⑧❖✷Ý✡B➨➌❳✎Ð✤✶❈❺❯❈❺↕B4. B = 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9 f 1 1 −2 1 4 0 e1 −1 1 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0 = B4 ③④✔B4✛ù➠❞0⑤↕✑✣✛✴➟→➃✶✣❋✴Ý✡
0-104 B 011-100 B 00011-3 00000 §1矩阵的初等变换 行阶梯矩阵B;还称为行最简形矩阵,其特点:非零行的第一个元素为1,且 §2矩阵的秋 3线性方程组的解 这些元1所在的列的其他元素都为0 §4初等矩阵 B;对应方程组 本章总结 4 3 4 标题页 取x3为自由未知量,令3=c得解 44 C+4 C+3 1 第9页共41页 C 由引例可知,要解线性方程组只须将増广矩阵经初等行变换化成行最简形 全屏显示 矩阵.不难证明,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯 形矩阵和行最简形矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ B4 r1−r2 r2−r3 g 1 0 −1 0 4 0 e1 −1 0 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0 = B5 ✶✣❋Ý✡B5❸→➃✶⑩④✴Ý✡, Ù❆✿: ➎✧✶✛✶➌❻✄❷➃1, ❹ ù✡✄1↕✸✛✎✛Ù➛✄❷Ñ➃0. B5é❆➄➜⑤ x1 − x3 = 4 x2 − x3 = 3 x4 = −3 ✒x3➃❣❞➍⑧þ, ✲x3 = c✚✮ x = x1 x2 x3 x4 = c + 4 c + 3 c −3 = c 1 1 1 0 + 4 3 0 −3 , (2) ❞Ú⑦➀⑧, ❻✮❶✺➄➜⑤➄▲ò❖✷Ý✡➨Ð✤✶❈❺③↕✶⑩④✴ Ý✡. Ø❏②➨,❄ÛÝ✡♦➀➧➨▲❦⑩❣Ð✤✶❈❺r➜❈↕✶✣❋ ✴Ý✡Ú✶⑩④✴Ý✡
由行最简形矩阵可以写出方程组的解,同样由方程组的解也可以写出行最 简形矩阵,由此可以断定一个矩阵的行最简形是唯一的.进而行阶梯矩阵 中非零行的行数也是唯一确定的 对于行最简形矩阵再进行初等列变换,可变成形状更简单的矩阵,例如 §1矩阵的初等变换 100 00 §2矩阵的秋 10-104 C3 3线性方程组的解 010|00 §4初等矩阵 01-100 B. 0001-3 001 00 00000 000 00 主讲:张少 矩阵F称为矩阵B的标増形,其特点是:F的左量角是个单位矩阵,其余元 标题页 素全为0 44 对于矩阵Amκn总可以经过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形 第10页共41页 E O F 00 全屏显示 此标准形完全由m,n和η三个数决定的.r就是行阶梯形矩阵中非零行的数 目,在下一节就会介绍这个就是矩阵A的秩 标准形B是A所在等价类中形状最简单的矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞✶⑩④✴Ý✡➀➧✕Ñ➄➜⑤✛✮, Ó✘❞➄➜⑤✛✮➃➀➧✕Ñ✶⑩ ④✴Ý✡, ❞❞➀➧ä➼➌❻Ý✡✛✶⑩④✴➫➁➌✛. ❄✌✶✣❋Ý✡ ➙➎✧✶✛✶ê➃➫➁➌✭➼✛. é✉✶⑩④✴Ý✡✷❄✶Ð✤✎❈❺, ➀❈↕✴●➁④ü✛Ý✡, ⑦❳: B5 = 1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 c3↔c4 c4+c1+c2 c5−4c1−3c2+3c ^ 3 1 0 0 | 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 − − − + − − 0 0 0 | 0 0 = F Ý✡F→➃Ý✡B✛■❖✴, Ù❆✿➫: F✛❺þ✍➫❻ü➔Ý✡, Ù④✄ ❷✜➃0. é✉Ý✡Am×n, ♦➀➧➨▲Ð✤❈❺(✶❈❺Ú✎❈❺)r➜③↕■❖✴ F = Er O O O ❞■❖✴✑✜❞m, n Úr♥❻êû➼✛. rÒ➫✶✣❋✴Ý✡➙➎✧✶✛ê ✽, ✸❡➌✦Ò➡✵☛ù❻rÒ➫Ý✡A✛➑. ■❖✴B➫A↕✸✤❞❛➙✴●⑩④ü✛Ý✡
