北京大学数学科学学院高等代数(I)期末考试题 班级姓名 学号 成绩 (本题20分)设K为数域。给定K4的两个子空间 M={(x1,x2,x3,x4)|2x1-x2+4x3-3x4=0,x1+m3-x4=0 N={(x1,x2,x3,4)3x1+x2+x3=0,7x1+7x3 求子空间M∩N和M+N的维数和一组基 二.(本题10分)在K4内给定 1=(1,-1,1,1),a=(2,-2,0,1) 令M=L(a1,a2).试求商空间K4/M的维数和一组基 三.(本题20分)给定数域K上的3阶方阵 24-2 3-35 求K上的3阶可逆方阵T,使T-1AT为对角矩阵 2.对于任意正整数m,求Am 四.(本题共15分)设V,U是数域K上的线性空间,dimV=m,dimU=m,f Hom(VU).在V内取基a1,…,=n,在U内取基m,,m,设∫在这两组取定的基下的 矩阵为A∈Mm,n(K) (本题5分)设 且 a=x1E1+…+x 证明f(a)=(m 2.(本题6分)设r(4)=n.给定V内的一个向量组a1,a2,…,as,证明V内向量 可被a1,a2,…,as线性表示的充分必要条件是U内的向量f()可被f(a1),f(a2) f(as)线性表示 3.(本题4分)设B∈Mm,n(K),且r(B)=r(4).证明V内存在一组基e1,,,U 内存在一组基m1,…,mn,使得f在此两组基下的矩阵为B
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五.(本题共25分)设V,U是数域K上的线性空间.从V到U的一个映射∫若满足 f(a+B)=f(a)+f()(va,B∈V),则称为V到U的一个半线性映射.从V到U的所 有半线性映射组成的集合记为Q(V,U).对任意f,9∈Q(V,U),k∈K,定义 +g(a)=fa)+ga),(kf(a)=kfa) (Va v) 1.(本题5分)证明f+9∈Q(,U),kf∈Q(v,U) 2.(本题16分)证明Q(v,U)关于上面定义的加法、数乘运算成为K上的线性空间 3.(本题4分)若U,V是有理数域Q上的线性空间(即K=Q,证明Q(VU)= Hom(V,U) 六.(本题共10分)设是复数域C上的n维线性空间,A∈End(V 1.(本题6分)证明:关于V内向量加法及实数与V内向量的数乘,V成为实数域 上的线性空间,维数为2,记作VR.(此时A也是V上的线性变换(此点不必 (本题4分)设A在V的一组基下的矩阵为n阶复方阵Ac,A在V的一组基下 的矩阵为2n阶实方阵A.证明det(A)=|det(Ac)2,这里|det(Ac川表示复数 det(Ac)的模(或称绝对值
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试题答案与评分标准 M的一组基:a1=(-1,2,1,0),a2=(1,-1,0,1) N的一组基:1=(-1,2,1,0),B2=(3,-9,0,7) dimm= dim=2 (到此得4分) -1210a1 1-101 行 0111a1+ 1210 00610B2 -907 dm(M+N)=3,基:a1,a1+a2,B2+6a1+3a2(或a1,a2,B2) 到此得14分) dim(M∩N)=dimM+dimN-dim(M+N)=1,基:a1(或) 到此得20分 (若计算有误,但方法正确,扣2-10分) 令B1=(0,1,0,0),B2=(1,0,0,0).因 ≠0, 100 故a,a2,B1,B2为F4的一组基 到此得5分) K/M的一组基为A+M,B2+M 到此得10分) (若把尻1,B2当作K4/M的一组基,扣6分) 三.AE-4=(X-2)2(A-6) 到此得5分) 2.(A1E-A)X=0的基础解系为m=(-1,1,0),m=(1,0,1) (到此得9分) A2=6.(A2E-A)X=0的基础解系为73=(1,-2,3) (到此得13分) 令 200 T= 则T-1AT 020 (到此得13分
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令 10-2T-1=2m-2 -2+2.3m2+2.3mn2-2.3m 1+3m+1 (到此得20分) (若计算有误,但方法正确,扣2-14分) 四.第1、2小题证明中有概念错误,扣一半以上分数 3因为r(B)=r(A),所以存在P∈Mm(K),P∈Mn(K),使得B=PAQ,且P,Q 可逆(满秩)令 P 到此得2分 =[(n1,…,m)4]Q=(m,…,mn)PAQ=(h1,…,m)B. (到此得4分) 五.1.验证f+g∈Q(V,U)得3分,验证k∈Q(V,U)得2分 2.验证八条公理,每一条得2分.验证中有不完整、不严格处要扣分.如果不验证 加法交换律,其他七条验证正确,得满分. 3.对于任意的k∈Q证明f(ko)=kf(a) k=0:f(0·a)=f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),→f(0)=0,故f(0·a)=0 k为正整数(k>1):f(ka)=f(a+…+a)=f(a)+…+f(a)=kf(a) (到此得2分) 0=f(0)=f(a+(-1)a)=f(a)+f(-1)a),→f((-1)a)=(-1)f(a) k为负整数:f(ka)=f(k(-1)a)=|kf(-1)a)=(-1)kf(a)=kf(a) k为非零整数:f(a)=f(k·ka)=kf(a)→f(ka)=kf(a 对任意非零有理数m:f(ma)=f(m(a)=mf(a)=mf(a) 到此得4分 六.1.设V在C上的一组基为e1,……,En,则日1,……,En,iel,…,in为的一组基 (到此得6分 (证明不完整扣23分) 2.设A在v/C的基 下的矩阵为Ac=(a+ib).A作为取上的 线性变换在不同基下的矩阵的行列式相同(未说明此事实扣1分).考察A在V的基
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in下的矩阵A.令A=(a),B=(b).则A,B∈Mn( ∑(ak+ibk;lk=∑ 故 A-B B A 到此得2分) 注意 det(Acl2=det(A +iB)det(a-iB)=A+iB 0 B A-iB 又有 A -IE A+iB A iE E A=iB 0 E B A 故det(A)=|det(Ac) 到此得4分
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