冷同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by lateX 31矩阵 2矩阵的运算 第二章矩阵及其运算 3逆矩阵 §4矩阵分块法 Chapter l matrices with Their operations 主讲张少强 主讲人:张少强 44P sqzhang@mail.tinu.edu.cn 第1页共36页 计算机与信息工程学院 天津师范大学 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶✓Ù Ý✡✾Ù✩➂ Chapter II Matrices with Their Operations ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学
31矩阵 2矩阵的运算 §4矩阵分块法 本章总结 本章主要内容简介 主讲:张少 标题页 44 第2页共36页 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵
31矩阵 §2矩阵的运算 §4矩阵分块法 11矩阵 标题页 第3页共36页 全屏显示
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282矩阵的运算 例9由行列式|A|=det(an)的各个元素的代数余子式A所构成的矩阵 A11A21…An1 31矩阵 §2矩阵的运算 A19A 3逆矩阵 As §4矩阵分块 Aln as 称为矩阵A的伴随矩阵。试证A*=A*A=|4|E 主讲:张少 证A=(a1),记AA*=(by), 标题页 44 2 第4页共36页 全屏显示 an1A1+a2A/2+…+ ainain A,当i=j;(行列式按行展开的公式) 0,当i≠j.(P26推论)
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ ⑦ 9 ❞✶✎➟|A| = det(aij)✛❼❻✄❷✛➇ê④❢➟Aij↕✟↕✛Ý✡ A ∗ = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann , →➃Ý✡A✛❾➅Ý✡✧➪②AA∗ = A∗A = |A|E. ② A = (aij), PAA∗ = (bij), ❑ bij = (ai1, ai2, . . . , ain) Aj1 Aj2 . . . Ajn = ai1Aj1+ai2Aj2+· · ·+ainAjn = ( |A|, ✟ i = j; (✶✎➟❯✶Ð♠✛ú➟) 0, ✟ i 6= j. (P.26 íØ)
A 所以AA AE 31矩阵 2矩阵的运算 类似,记A*A=(c7),则 3逆矩阵 矩阵分块 C;=(A1A2 主讲:张少 标题页 44 a1jA1+a2A2+…+anA A,当i=j;(行列式按列展开的公式) 0,当i≠j(P26推论) 第5页共36页 →→AA*= A 全屏显示 AE
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ↕➧AA∗ = |A| |A| . .. |A| = |A|E. ❛q➜PA∗A = (cij), ❑ cij = (A1i , A2i , . . . , ani) a1j a2j . . . anj = a1jA1i+a2jA2i+· · ·+anjAni = ( |A|, ✟ i = j; (✶✎➟❯✎Ð♠✛ú➟) 0, ✟ i 6= j. (P.26 íØ) =⇒ AA∗ = |A| |A| . . . |A| = |A|E
§1矩阵 §2矩阵的运算 六、共轭矩阵 3逆矩阵 §4矩阵分块法 当A=(a)为复矩阵时,用可;表示a的共轭复数(a+b与a-b共轭), 本拿总结 A=(a1)A称为A的共轭矩阵 设A、B为复矩阵,λ为复数,共轭矩阵有下列运算规律: 主讲:张少 (1)A+B=A+B 44 (i)AA=入A; (iii) AB= AB 第6页共36页 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✽✦✁ÝÝ✡ ✟A = (aij)➃❊Ý✡➒➜❫aij▲➠aij✛✁Ý❊ê↔a+bi❺a−bi✁Ý↕➜ PA = (aij). A →➃A✛✁ÝÝ✡. ✗A✦B➃❊Ý✡➜λ➃❊ê➜✁ÝÝ✡❦❡✎✩➂✺➷➭ (i) A + B = A + B; (ii) λA = λ¯A¯; (iii) AB = A¯B¯
383逆矩阵 给定一个线性变换 11 +…+a1nC y2=a211+a222++a2nCn, 31矩阵 §2矩阵的运算 3逆矩阵 + …+an y 记系数矩阵为A,A为n阶方阵,记X y\,则 标题页 有Y=AX 按Came法则,若|A|≠0,则 第7页共36页 a11a12 全屏显示 a21022……·a2i-1y2a2.i+1…2n anl an2 n, i-1 yn an, i+1 A
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3 §3 ❴ Ý ✡ ❽➼➌❻❶✺❈❺ y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn, . . . . . . . . . . . . . . . . yn = an1x1 + an2x2 + · · · + annxn, (1) P❳êÝ✡➃A➜A➃n✣➄✡➜PX = x1 x2 . . . xn ➜Y = y1 y2 . . . yn ➜❑ ❦Y = AX. ❯Cramer④❑➜❡|A| 6= 0➜❑ xi = a11 a12 · · · a1,i−1 y1 a1,i+1 · · · a1n a21 a22 · · · a2,i−1 y2 a2,i+1 · · · a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · an,i−1 yn an,i+1 · · · ann |A|
按红色那列展开,有 Ali. 91+A 即x1,x2,…,xn可用v,y2,…,线性表示 31矩阵 52矩阵的运算 53逆矩阵 bny1+b12y2+…+b1 §4矩阵分块法 J2=b21 1+b2232+.+b2ngn 主讲:张少 n=bnn+bn22+…+bnym 标题页 其中b=A。由第一章定理4解的唯一性知(|A≠0),这个表示 44 式是唯一的。(2)是从犰,v,…,yn到π1,x2,灬…,πn的线性变换,线性变 换(2)称为线性变换(1)的逆变换 第8页共36页 令B为(2)所对应的系数矩阵,则(2)可写成X=BY 将X=BY代入Y=AX→Y=A(BY)→→Y=(AB)Y(乘法的结合 率);→Y经系数矩阵AB的线性变换又变会自身,AB为恒等变换所对 全屏显示 应的矩阵,我们知道恒等变换对应的矩阵为单位矩阵E,故AB=E. 将Y=AX代入X=BY=>X=B(AX)=(BA)X→BA=E
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❯ùÚ❅✎Ð♠➜❦ = 1 |A| (A1i · y1 + A2i · y2 + · · · Ani · yn) ❂x1, x2, · · · , xn➀❫y1, y2, · · · , yn❶✺▲➠ x1 = b11y1 + b12y2 + · · · + b1nyn, x2 = b21y1 + b22y2 + · · · + b2nyn, . . . . . . . . . . . . . . . xn = bn1y1 + bn2y2 + · · · + bnnyn, (2) Ù➙bij = 1 |A|Aij✧❞✶➌Ù➼♥4✮✛➁➌✺⑧↔∵ |A| 6= 0 ↕➜ù❻▲➠ ➟➫➁➌✛✧↔2↕➫❧y1, y2, · · · , yn✔x1, x2, · · · , xn✛❶✺❈❺,❶✺❈ ❺↔2↕→➃❶✺❈❺↔1↕✛❴❈❺✧ ✲B➃↔2↕↕é❆✛❳êÝ✡➜❑↔2↕➀✕↕X = BY . òX = BY ➇❭Y = AX =⇒ Y = A(BY ) =⇒ Y = (AB)Y (➛④✛✭Ü ➬)➯=⇒ Y ➨❳êÝ✡AB✛❶✺❈❺q❈➡❣✜➜AB➃ð✤❈❺↕é ❆✛Ý✡➜➲❶⑧✗ð✤❈❺é❆✛Ý✡➃ü➔Ý✡E➜✙AB = E✧ òY = AX➇❭X = BY =⇒ X = B(AX) = (BA)X =⇒ BA = E
定义7对于一个n阶方阵A,若有一个n阶方阵B使得 AB= BA=E 则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 性质矩阵A可逆>A的逆矩阵唯 31矩阵 §2矩阵的运算 证:反证,若不唯一,设B,C均为A的逆矩阵,从而AC=E,BA=E, 3逆矩阵 §4矩阵分块法 B=BE=B(AC)=(BAC=EC=C, 所以B=C 主讲:张少 A的逆矩阵一般记作A-1,即在定义中B=A-1,有AA-1=A-1A=E 标题页 定理1矩阵A可逆=→|A≠0 44 证:A可逆→→AA-1=E=>|A·A-1=|E=1≠0(由上节方阵的行 列式性质(i)得)从而由4·|A-1≠0=→4≠0 第9页共36页 定理241≠0→矩阵A可逆且三西4其中A为矩阵A的伴随矩 阵 全屏显示 证:上A=B(都除以A然后矩阵乘法运算规律(i)由矩阵定 9知AA*=A*A=4E.又:A≠0 AAAN 义有A-1、 A
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶7 é✉➌❻n✣➄✡A➜❡❦➌❻n✣➄✡B➛✚ AB = BA = E, ❑❵Ý✡A➫➀❴✛➜➾rÝ✡B→➃A✛❴Ý✡✧ ✺➓ Ý✡A➀❴=⇒ A✛❴Ý✡➁➌✧ ②➭❻②➜❡Ø➁➌➜✗B, Cþ➃A✛❴Ý✡➜❧✌AC = E, BA = E, ❦ B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C, ↕➧B = C. A✛❴Ý✡➌❸P❾A−1 , ❂✸➼➶➙B = A−1 , ❦AA−1 = A−1A = E✧ ➼♥1Ý✡A➀❴=⇒ |A| 6= 0. ②➭ A➀❴=⇒ AA−1 = E =⇒ |A| · |A−1 | = |E| = 1 6= 0 (❞þ✦➄✡✛✶ ✎➟✺➓↔iii↕✚). ❧✌❞|A| · |A−1 | 6= 0 =⇒ |A| 6= 0. ➼♥2|A| 6= 0 =⇒ Ý✡A➀❴,❹A−1 = 1 |A|A∗ , Ù➙A∗➃Ý✡A✛❾➅Ý ✡✧ ②➭þ✦⑦9⑧AA∗ = A∗A = |A|E. q∵ |A| 6= 0 ∴ A 1 |A|A∗ = 1 |A|A∗A = E (ÑØ➧|A|,✱Ý✡➛④✩➂✺➷(ii)). ❞Ý✡➼ ➶❦A−1 = 1 |A|A∗ .
从前面的线形变换(1)的逆变换(2)也能看出 A-1=B=(b7) 4 A A 定义:当A=0时,A称为奇异矩阵( Singular matrix),当A≠0时,A称 31矩阵 2矩阵的运算 为非奇异矩阵( Nonsingular Matrix) 53逆矩阵 定理1和定理2结合有:A是可逆矩阵的充要条件是4≠0.或说A是可逆 §4矩阵分块法 本章总结 矩阵的充要条件是A是非奇异矩阵 推论对于同阶方阵A和B,若AB=E(或BA=E),则B=A-1 主讲:张少 证AB=E=|4·|B|=|酬=1→|4≠0=A-1存在.于 标题页 是B=EB=(4-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1 44 实数域R n阶实矩阵集合 实数a可逆兮3使mb==1矩阵A可逆兮彐B,使AB=BA=En 第10页共36页 a≠0 detA≠0 →b=a →B=A 全屏显示 结论:若A可逆,则A*|=|AP 证A可逆→>AA*=AA=|AE=→|AA=|AE=→|4·|A 1A四E|=A=>|A|=|A1n
天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❧❝→✛❶✴❈❺(1)✛❴❈❺(2)➃❯✇Ñ A −1 = B = (bij) = ( 1 |A| Aji) = 1 |A| (Aji) = 1 |A| A ∗ . ➼➶➭✟|A| = 0➒➜A→➃Û➱Ý✡(Singular Matrix)➜✟|A| 6= 0➒➜A→ ➃➎Û➱Ý✡(Nonsingular Matrix)✧ ➼♥1Ú➼♥2✭Ü❦➭A➫➀❴Ý✡✛➾❻❫❻➫|A| 6= 0. ➼❵A➫➀❴ Ý✡✛➾❻❫❻➫A➫➎Û➱Ý✡✧ íØ é✉Ó✣➄✡AÚB➜❡AB = E (➼BA = E), ❑B = A−1 . ② AB = E =⇒ |A| · |B| = |E| = 1 =⇒ |A| 6= 0 =⇒ A−1⑧✸. ✉ ➫B = EB = (A−1A)B = A−1 (AB) = A−1E = A−1 . ➣ê➁R n✣➣Ý✡✽Ü ➣êa ➀❴⇔ ∃b ➛ab = ba = 1 Ý✡A➀❴⇔ ∃B, ➛AB = BA = En ⇔ a 6= 0 ⇔ detA 6= 0 ⇒ b = a −1 ⇒ B = A−1 ✂✭Ø➭❡A➀❴➜❑|A∗ | = |A| n−1 . ② A➀❴=⇒ AA∗ = A∗A = |A|E =⇒ |AA∗ | = ||A|E| =⇒ |A| · |A∗ | = |A| n |E| = |A| n =⇒ |A∗ | = |A| n−1 .