西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第一章 n阶行列式（1.1-1.3）

线性代数讲稿 讲稿编者:张凯院 使用教材:《线性代数》 西北工业大学出版社 西工大数学系编 教学参考:《线性代数典型题分析解集》 西北工业大学出版社 徐仲等编

线性代数讲稿 讲稿编者： 张 凯 院 使用教材：《线性代数》 西北工业大学出版社 西工大数学系编 教学参考：《线性代数典型题分析解集》 西北工业大学出版社 徐 仲 等编

第一章n阶行列式 §12排列及其逆序数 1.排列:n个依次排列的元素 例如,自然数1,2,34构成的不同排列有41=24种 1234,1342,1423,1432,1324,1243 2134,2341,2413,2431,2314,2143 3124,3241,3412,3421,3214,3142 4123,4231,4312,4321,4213,4132 例1互异元素p2P2…Pn构成的不同排列有m种 解在n个元素中选取1个 n种取法 在剩余n-1个元素中选取1个 n-1种取法 在剩余n-2个元素中选取1个 n-2种取法 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 总共n种取法 2.标准排列:n个不同的自然数从小到大构成的排列 n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列 3.逆序数: (1)某两个数(元素)的先后次序与标准次序不同时,称这两个数(元素) 之间有1个逆序. (2)排列PP2…Pn中逆序的总和称为排列的逆序数,记作x(P1P2…Pn) 算法:固定i(=2,…,n),当jP的“P1”的个数记作1(称为p的逆序数), 那么r(P1P2…Pn)=2+…+n 例2排列6372451中,τ=v2+…+v=1+0+3+2+2+6=14 例3排列13…(2n-1)(2n(2n-2)…42,求逆序数

2 第一章 n 阶行列式 §1.2 排列及其逆序数 1．排列： n 个依次排列的元素． 例如, 自然数 1,2,3,4 构成的不同排列有 4!=24 种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例 1 互异元素 p p pn , , , 1 2  构成的不同排列有 n! 种． 解 在 n 个元素中选取 1 个 n 种取法 在剩余 n −1 个元素中选取 1 个 n −1 种取法 在剩余 n − 2 个元素中选取 1 个 n − 2 种取法 ……………… ………… 在剩余 2 个元素中选取 1 个 2 种取法 在剩余 1 个元素中选取 1 个 1 种取法 ------------------ 总共 n! 种取法 2．标准排列： n 个不同的自然数从小到大构成的排列． n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有 1 个逆序． (2) 排列 p1 p2 pn 中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作 ( ) p1 p2 pn  ． 算法：固定 i (= 2,  ,n), 当 j  i 时, 满足 p j  pi 的“ j p ”的个数记作 i  （称为 i p 的逆序数）, 那么 ( ) p1 p2 pn  n =  ++ 2 ． 例 2 排列 6372451 中,  =  2 ++ 7 =1+ 0 + 3+ 2 + 2 + 6 =14． 例 3 排列 13(2n −1)(2n)(2n − 2)42, 求逆序数．

解记作P1P2…PnPn1Pn2…p2n1P2 0 rn2=2=2×1,n+3=4=2×2,…,t2n=2×(n-1) z=2[+2+…+(n-1)=n(n-1) 4.奇偶性:排列P1P2…p r(p1p2…pn)=奇数时,称为奇排列 r(P1P2…pn)=偶数时,称为偶排列 5.对换 相邻对换:p1…P,P1…pn→p…p1p1…Pn 般对换:p1…P…p1…Pn→P1…P…P…Pn(b:对换后τ不变,τ减少1,故12=1-1 所以12与1的奇偶性相反 再证一般对换:(1)a1…aab1…bnbc1…cn (2) b1… b abc1…c, bb1…bnac1 (1)→(2)经过m次相邻对换 (2)→(3)经过m+1次相邻对换 (1)→>(3)经过2m+1次相邻对换,所以t3与t1的奇偶性相反

3 解 记作 p1 p2 pn pn+1 pn+2 p2n−1 p2n  2 = 0,  ,  n+1 = 0  n+2 = 2 = 21,  n+3 = 4 = 2 2 , …, 2 ( 1)  2n =  n −  = 2[1+ 2 ++ (n −1)] = n(n −1) 4．奇偶性：排列 p1 p2 pn  ( p1 p2 pn ) = 奇数时, 称为奇排列；  ( p1 p2 pn ) = 偶数时, 称为偶排列． 5．对换： 相邻对换： p1 pi pi+1 pn → p1 pi+1 pi pn 一般对换： p1  pi  p j  pn → p1  p j  pi  pn (i  j) 定理 1 排列经过 1 次对换, 其奇偶性改变． 证 先证相邻对换：(1) a1 al abb1 bm (2) a1 al bab1 bm a  b ：对换后 a  增加 1, b  不变, 故 t 2 = t 1 +1 ； a  b ：对换后 a  不变, b  减少 1, 故 t 2 = t 1 −1． 所以 2 t 与 1 t 的奇偶性相反． 再证一般对换：(1) l m n a a ab b bc c 1 1 1 (2) l m n a a b b abc c 1 1 1 (3) l m n a a bb b ac c 1 1 1 (1) → (2)经过 m 次相邻对换 (2) → (3)经过 m+1 次相邻对换 (1) → (3)经过 2m+1 次相邻对换, 所以 3 t 与 1 t 的奇偶性相反．

推论奇排列→标准排列,对换次数为奇数 偶排列→标准排列,对换次数为偶数 §13n阶行列式的定义 1.二阶: a21a,-an1a2-a1221 三阶 (1)乘积中三个数不同行、不同列:±a1na2aP2 行标(第1个下标):标准排列123 列标(第2个下标):p1P2p3是1,2,3的某个排列(共6种) (2)正项:123,231,312为偶排列 负项:132,213,321为奇排列 于是 r( p, p, p3 (PiPpI) 3.n阶:n2个数an(i n),称 nI 为n阶行列式,它表示数值 ∑(-1) z=r(P1P2…Pn) 其中,求和式中共有n项

4 推论 奇排列 → 标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列 → 标准排列, 对换次数为偶数． §1.3 n 阶行列式的定义 1．二阶： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 2．三阶： 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 (1) 乘积中三个数不同行、不同列： 1p1 2 p2 3 p3  a a a 行标(第 1 个下标)：标准排列 123 列标(第 2 个下标)： p1 p2 p3 是 1,2,3 的某个排列(共 6 种) (2) 正项：123, 231, 312 为偶排列 负项：132, 213, 321 为奇排列 于是 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a =  −  , ( ) p1 p2 p3  =  ． 3．n 阶： 2 n 个数 a (i, j 1,2, ,n) ij =  , 称 n n nn n n a a a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 12 1 = 为 n 阶行列式, 它表示数值 n n p p np p p p a a a  1 2 1 2 1 2 ( ) (−1)  , ( ) p1 p2 pn  =  其中, 求和式中共有 n! 项．

例3计算D1= D, 解D中只有一项a1a2…am不显含0,且列标构成排列的逆序数为 r(12…n)=0,故D1=(-1)a1a2…an=a1a2…an D2中只有一项a1a2n-1…an不显含0,且列标构成排列的逆序数为 r(n2…21)=1+2+…+(n-1)= n(n-1) n(n-1 故D2=(-1)ana2nt…an1=(-1)2a1na2n1…an1 结论:以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 m(n-) 的乘积,并冠以符号(-1) 特例: (-1)2A2… 定理2D=/1a2 ∑(-1)“ 证由定义知D=∑(-1 先证(2)中的项都是(1)中的项:交换乘积次序可得

5 例 3 计算 nn n n a a a a a a D     22 2 11 12 1 1 = , 1 21 2, 1 11 1, 1 1 2 n n n n a a a a a a D     − − = . 解 D1 中只有一项 a11a22 ann 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为  (12n) = 0 , 故 D1 a11a22 ann a11a22 ann = (−1) =  ． D2 中只有一项 a1n a2,n−1 an1 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为 2 ( 1) ( 21) 1 2 ( 1) − = + + + − = n n  n  n 故 1 2, 1 1 2 ( 1) 2 1 2, 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n D a n a n an a a − a − = − − = −  ． 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积． 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号 2 ( 1) ( 1) − − n n ． 特例： n n         1 2 2 1 = ， n n n n         1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) − = − 定理 2 q q q n q q q q q q n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D          1 2 ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 1 2 = = (−1)  (2) 证 由定义知 n n n p p np p p p p p p D a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) = (−1)  (1) 先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得 n n n n p p np q q q q q q n q q q a a a a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1)   − = − (3)

①x(qq2…qn)=偶数 qq2…qn→12…n偶数次对换 12…n→P1P2…Pn偶数次对换 所以x(PP2…pn)=偶数 ②r(q1q2…qn)=奇数 q12…qn→>12…H奇数次对换 12…n→P1P2…Pn奇数次对换 所以x(P2…pn)=奇数 因此(-1)%)=(-1)P“P,由(3)可得 (-1)an1an2…an=(-)ana2…am 同理可证(1)中的项都是(2)中的项 课后作业:习题一1,2,3

6 ①  (q1q2 qn ) = 偶数 q1q2 qn →12n 偶数次对换 12n → p1 p2 pn 偶数次对换 所以  ( p1 p2 pn ) = 偶数 ②  (q1q2 qn ) = 奇数 q1q2 qn →12n 奇数次对换 12n → p1 p2 pn 奇数次对换 所以  ( p1 p2 pn ) = 奇数 因此 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) ( 1) q q qn p p pn   − = − , 由(3)可得 n n n n p p np p p p q q q n q q q a a a a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1)   − = − 同理可证(1)中的项都是(2)中的项． 课后作业：习题一 1，2，3