西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）复习题

复习题 例1计算Dn=301…0 00 010 0 解D 001 0 000 +b1a2 a 例2计算D b2 (b;≠ a+b +b r-n一 6, b2 0 解法1Dn= c1+c1(j=2,…,m)” 0b2 b1 (a1+b1)+,a2+ 00 b bb2…b1++2+ 6, b2 b 解法2加边法 1a2 +b1 0 a2+b2 0

1 复习题 例 1 计算 0 0 1 3 0 1 0 2 1 0 0 1 2 3         n n Dn = ． 解 1 (2 ) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 3 2 2 2, , 1 n t n D j c j c j n n = = − + + − =           例 2 计算 n n n n n a a a b a a b a a b a a D + + + =       1 2 1 2 2 1 1 2 (  0) bi . 解法 1 n n r r n b b b b a b a a D i       0 0 1 1 2 1 1 2 1 − − + = − “ ( 2, , ) 1 1 c j n b b c j j + =  ” n n b b t a a       0 0 0 2 0 2 = n n n a b b b b a b b a b 2  1 2 2 1 1 1 ( )         = + + + +         = + + + + n n n b a b a b a b b b  2 2 1 1 1 2 1 解法 2 加边法 n n n n n n a a a b a a b a a b a a a a a D + + + =         1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 0 0 0 1

1:b10 1;0b, -00:b b10 0:0b 0 1:00 0:00 tbb2…bn=b1b2…b1+1+ 6, b, 例3设A=-11 满足AX=A-+2X,求X 解并项:(A-2E)X=A 左乘A:I(det4)E-24X=E 计算:cetA=4 X=(4E-2A)-2 (2E-A)=011 10 例4求解Ax=b,A=111,b= 11a1 解A=1x11:4→1-4元-100:-1 111:a 1-0元-10:2 →-1100:1奇|2+2001:-(4+1) 1010:元+1 1010:+1 1100:1 x2=1+x1 (1)元≠1:同解方程组为{x3=(+1)+x1 x4=-(1+1)-(元+2)x1

2 n n b b b a a a         1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 2 − − − = n n b b b t a a a         0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 = b b bn b b bn = t 1 2  = 1 2          + + + + n n b a b a b a  2 2 1 1 1 例 3 设           − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 满足 A X A 2X 1 = +  − , 求 X ． 解 并项： 1 ( 2 )  − A − E X = A 左乘 A ： [(detA)E − 2A]X = E 计算： detA = 4 1 1 (2 ) 2 1 (4 2 ) − − X = E − A = E − A           = 1 0 1 0 1 1 1 1 0 4 1 例 4 求解 Ax = b,           = 1 1 1 1 1 1 1 1 1    A ,           = 2 1  b  解           = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~      A           − − − → − − − 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2        行           − + → −  1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1    行           − − + + − + → 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 ( 1)    行 (1)   1 ：同解方程组为      = − + − + = + + = + 4 1 3 1 2 1 ( 1) ( 2) ( 1) 1 x x x x x x   

0基础解系ξ Ax=b特解n 元+1 (λ+2) (元+1) 通解为x=η+k(k为任意常数 (2)=1:同解方程组为x1=1-(x2+x3+x) 4x=0基础解系51 5 Ax=b特解n 0 通解为x=n+k151+k252+k353(k1,k2,k3为任意常数 例5向量组r:a1=1 6 c+2 求向量组T的一个最大无关组 解对矩阵A=[1a2a3a]进行初等行变换可得 2 0-2 15-110 31c+2c 04c-7c+6

3 Ax = 0 基础解系             − + = ( 2) 1 1 1   , Ax = b 特解             − + + =  ( 1) 1 1 0    通解为 x =  + k  （ k 为任意常数） (2)  = 1 ：同解方程组为 1 ( ) x1 = − x2 + x3 + x4 Ax = 0 基础解系            − = 0 0 1 1  1 ,            − = 0 1 0 1  2 ,            − = 1 0 0 1  3 Ax = b 特解             =  0 0 0 1  通解为 x =  + k1 1 + k2 2 + k3 3  （ 1 2 3 k , k , k 为任意常数） 例 5 向量组 T ：             = 3 1 1 1  1 ,             − − = 1 5 3 1  2 ,             + − = 2 1 2 3 3 c  ,             − − = c 10 6 2  4 求向量组 T 的一个最大无关组． 解 对矩阵   A = 1  2  3  4 进行初等行变换可得             + − − − − − = c c A 3 1 2 1 5 1 10 1 3 2 6 1 1 3 2             − + − − − − − − → 0 4 7 6 0 6 4 12 0 2 1 4 1 1 3 2 c c 列

1-13 2 列0-2 0-2-1-4 000c-2 (1)c#2: rankA= rank B=4 B的12,3,4列线性无关→A的1,2,3,4列线性无关 故a1,a2a3,a是T的一个最大无关组; (2)c=2: rankA= rank B=3 B的1,2,3列线性无关→A的1,2,3列线性无关 故a1,a2,ax3是T的一个最大无关组 例6f(x1,x2,x3)=2x2+5x2+5x2+4x1x2-4x1x3-8x2x3 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形 22-21 解∫的矩阵A=25-4 A的特征多项式g()=-(2-1)2(-10) λ=2=1的两个正交的特征向量p1=1,P2=-1 3=10的特征向量n3=2 正交矩阵Q=1/2-1/322/3 2/3 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+10

4             − − − − − − − − → 0 0 9 2 0 0 7 0 0 2 1 4 1 1 3 2 c c 列 B c =             − − − − − − − → 0 0 0 2 0 0 7 0 0 2 1 4 1 1 3 2 列 (1) c  2 ： rankA= rankB = 4 B 的 1,2,3,4 列线性无关  A 的 1,2,3,4 列线性无关 故 1 2 3 4  , , , 是 T 的一个最大无关组； (2) c = 2 ： rankA= rankB = 3 B 的 1,2,3 列线性无关  A 的 1,2,3 列线性无关 故 1 2 3  , , 是 T 的一个最大无关组． 例 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 f 的矩阵           − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 10) 2   = −  −  − 1 = 2 = 1 的两个正交的特征向量           = 1 1 0 1 p ,           = − 1 1 4 p2  3 = 10 的特征向量           − = 2 2 1 p3 正交矩阵           − = − 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + y + 10 y

例7f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3,秩(f)=2 (1)求 (2)用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形 解(1)∫的矩阵A=-15-3(显见mnkA≥2) rank4=2→detA=0→c=3 -13 4-4-0 (2)p(1)=-15--3 3 4-0 16-a (-4)(λ-9) λ1=0,42=4,43=9的特征向量依次为 P1=1,P2=1,P3=-1(两两正交) 正交矩阵Q=1/61/2-1 正交变换x=Qy 标准形∫=0y2+4y2+9y 例8设A=5a3的一个特征向量为51=1,求数a,b及A的 全体特征值与特征向量

5 例 7 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + 5x + c x − 2x x + 6x x − 6x x ,秩 ( f ) = 2． (1) 求 c ； (2) 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 (1) f 的矩阵           − − − − = c A 3 3 1 5 3 5 1 3 （显见 rankA 2 ） rankA = 2 detA = 0 c = 3 (2)          − − − − − − − = − − − − − − − = + 3 3 3 1 5 3 4 4 0 3 3 3 1 5 3 5 1 3 ( ) 1 2 r r ( 4)( 9) 3 6 3 1 6 3 4 0 0 2 1 = − − − − − − − − − = −       c c 1 = 0, 2 = 4, 3 = 9 的特征向量依次为          − = 2 1 1 p1 ,           = 0 1 1 p2 ,           = − 1 1 1 p3 （两两正交） 正交矩阵           − − = 2 6 0 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y 标准形 2 3 2 2 2 f = 0 y1 + 4 y + 9 y 例 8 设           − − − = 1 2 5 3 2 1 2 b A a 的一个特征向量为           − = 1 1 1  1 , 求数 a,b 及 A 的 全体特征值与特征向量．

解451=15→a+2 A=5-33 b=0 p(4)=(A+1)3=0→A1=2=43=-1 101 A-(-1)E=5-23→011:rank(A-(-1)E)=2 由此可得:对应特征值λ=-1只有1个线性无关的特征向量,而特征 方程的基础解系为51=1|,全体特征向量为x=k51(k1≠0 例9设方阵A的特征值λ1≠λ2,对应的特征向量分别为x1,x2,证明: (1)x1-x2不是A的特征向量 (2)x1,x1-x2线性无关 证(1)反证法.若A(x1-x2)=(x1-x2),则 λ1x1-2x2=A(x1-x2)→(1-1)x1+(-2)x2=0 λ≠2→x1,x2线性无关→1=λ=2矛盾! 故x1-x2不是A的特征向量 (2)设数组k1,k2使得k1x1+k2(x1-x2)=0,则 (k1+k2)x1+(-k2)x2=0 λ≠2→x1,x2线性无关→k1+k2=0,-k2=0 即k1=0,k2=0.故x1,x1-x2线性无关

6 解 A 1 = 1       = = − = −            − =           + + − 0 3 1 1 2 1 b a b a               − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 A ( ) ( 1) 0 3   =  + =  1 = 2 = 3 = −1           →           − − − − − − = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 5 2 3 3 1 2 ( 1) 行 A E ： rank (A − (−1)E) = 2 由此可得：对应特征值  = −1 只有 1 个线性无关的特征向量, 而特征 方程的基础解系为           − = 1 1 1  1 , 全体特征向量为 ( 0) x = k1 1 k1  ． 例 9 设方阵 A 的特征值 1  2 , 对应的特征向量分别为 1 2 x , x , 证明： (1) x1 − x2 不是 A 的特征向量； (2) 1 x , x1 − x2 线性无关． 证 (1) 反证法．若 ( ) ( ) A x1 − x2 =  x1 − x2 , 则 ( ) 1 x1 − 2 x2 =  x1 − x2  (1 − )x1 + ( − 2 )x2 = 0 1  2  1 2 x , x 线性无关  1 =  = 2 矛盾！ 故 x1 − x2 不是 A 的特征向量． (2) 设数组 1 2 k ,k 使得 k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = 0 , 则 (k1 + k2 )x1 + (−k2 )x2 = 0 1  2  1 2 x , x 线性无关  k1 + k2 = 0, − k2 = 0 即 k1 = 0, k2 = 0 ．故 1 x , x1 − x2 线性无关．