§1.7有理数域上的多项式 定义71设∫(x)是一个整系数多项式,若f(x)的系数 的公因子只有±1,则称f(x)是一个本原多项式 Gauss引理两个本原多项式的乘积仍为本原多项式 证明设 f(x)=anx+…+a1x+ao2 g(x)=bnx+…+bx+b 是两个本原多项式令 国园國[回
§1.7 有理数域上的多项式 7.1 ( ) ( ) 1, ( ) f x f x ± f x 定义 设 是一个整系数多项式,若 的系数 的公因子只有 则称 是一个本原多项式. Gaus s引理 两个本原多项式的乘积仍为本原多项式. 1 0 1 0 ( ) , ( ) . m m n n f x a x a x a g x b x b x b = + + + = + + + " " 证明 设 是两个本原多项式 令
h(x)=f(x)g(x)=Cnnx"”+…+cx+C0 其中c=Σab,假设(x)不是本原多项式, i+j=k 出则有素数p能整除h(所有系数因为/(x)(x) 王都是木原多项式故有/(5≤m15/m 使得 pla.,pa,pia P|bo…p|b-,p+b 国园國[回
1 0 0 1 0 1 () ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) , (1 ,1 ) | , , | , , | , , | , . m n m n k i j i j k i i j j h x f x g x c x c x c c a b h x p h x f x g x i j i m j n p a p a p a p b p b p b + + + = − − = = + + + = ∑ ≤ ≤ ≤ ≤ " … … 其中 ,假设 不是本原多项式, 则有素数 能整除 的所有系数.因为 都是本原多项式,故有 使得 ? ?
注意到 生cn=abn+…+ab+ab+anb+…+anA 王而且p整除上式中除a以外的所有项因此也 必有pab,因为p是素数,故p1a或pb,与假设 矛盾,因此k(x)是本原多项式 国园國[回
0 1 1 1 1 0 , | | | ( ) i j i j i j i j i j i j i j i j i j c a b a b a b a b a b p a b p a b p p a p b h x + + = +" " + + − + + + + − + + 注意到 而且 整除上式中除 以外的所有项,因此,也 必有 .因为 是素数,故 或 ,与假设 矛盾,因此 是本原多项式
引理71每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积而且这样的分 王解在不计士号时是唯一的 王证明设/(是Q上的非零多项式则有整数口 使得af(x)的系数均为整数设b是f(x)的所有 系数的最大公因子,则有af(x)=bg(x),其中g(x) 是一个本原多项式,从而f(x)=(a/b)g(x)是 个有理数a/b和一个本原多项式g(x)之积 国园國[回
7.1 , ± 引理 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积 而且这样的分 解在不计 号时是唯一的. ( ) , ( ) . ( ) , ( ) ( ), ( ) , ( ) ( / ) ( ) / ( ) . f x a af x b af x af x bg x g x f x a b g x a b g x = = 证明 设 是 上的非零多项式 则有整数 使得 的系数均为整数设 是 的所有 系数的最大公因子 则有 其中 是一个本原多项式 从而 是 一个有理数 和一个本原多项式 之积 Q
假设还有f(x)=mh(x),其中r∈Q,h(x)是一个 王本原多项式令=c1,其中d∈Z那么 王(a/6)g(2(0(x而,ag(x)=b(x) 王因为g(x))都是本原多项式所以a和都 是a(x)=bx)系数的最大公因子,从而 ad=±bc于是r=c/d=±a/b,且有(x)=干8(x 国园國[回
( ) ( ), , ( ) . / , , , ( / ) ( ) ( / ) ( ), ( ) ( ). ( ), ( ) , ( ) ( ) , / / , ( ) ( ). f x rh x r h x r c d c d a b g x c d h x adg x bch x g x h x ad bc adg x bch x ad bc r c d a b h x g x = = = = = = ± = = ± = ∓ 假设还有 其中 是一个 本原多项式令 其中 那么 从而, 因为 都是本原多项式 所以 和 都 是 系数的最大公因子,从而 于是 且有 ∈ Q ∈ Z
引理7.2设f(x)是一个非零的整系数多项式,如果 f(x)在Qx中是可分的,那么f(x)在Z[x中也是可分 的,即能分解成两个次数小于degf(x)的整系数多项 式之积 Eisenstein判别法设f(x)=anx+…+a1x+a是一个 整系数多项式,如果有一个素数p使得 Panp{an1…,pan,p2+an,则f(x)是有理数上的 既约多项式 国园國[回
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] deg ( ) f x f x x f x x f x 引理7.2 设 是一个非零的整系数多项式,如果 在 中是可分的,那么 在 中也是可分 的,即能分解成两个次数小于 的整系数多项 式之积. Q Z 1 0 2 1 0 0 Eisenstein ( ) , | , , | , ( ) n n n n f x a x a x a p p a p a p a p a f x − = +"+ + … 判别法 设 是一个 整系数多项式,如果有一个素数 使得 ,则 是有理数上的 既约多项式. ? ?
证明假设/不是Q上的既约多项式则由上引理 可知,f=gh,其中g,h都是次数比degf小的整系 数多项式.设 g(x)=bx+…+bx+b f(x)=c"+.+Cx+c 则有k,m<n,+m=n,且an=bCn,an=b由pan 可得p|b或pce再由p2a可得p不能同时整除b和co 故不妨设Pb,pc另一方面因an,所以b设 b,b…,b中第一个不能被p整除的是b注意到,S≤k<n 因此,an=bc+bc1+…+bc中除bc。-项全能被p整除, 从而必有pbc于是p|b或p|co,它们均和假设矛盾.故 f必为本原多项式 上页下 圆回
1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 , , , , deg ( ) , ( ) , , , , | | | | , , , k k m m n k m n n f f gh g h f g x b x b x b f x c x c x c k m n k m n a b c a b c p a p b p c p a p b c p b p c p a p b b b b = = + + + = + + + < + = = = " " … 证明 假设 不是 上的既约多项式 则由上引理 可知 其中 都是次数比 小的整系 数多项式.设 则有 ,且 .由 可得 或 .再由 可得 不能同时整除 和 故不妨设 .另一方面因 ,所以 .设 Q ? ? ? ? 0 1 1 0 0 0 0 , . | , | | k s s s s s s s p b s k n a b c b c b c b c p p b c p b p c f − ≤ < = + +"+ 中第一个不能被 整除的是 注意到, 因此, 中除 一项全能被 整除, 从而必有 于是 或 ,它们均和假设矛盾.故 必为本原多项式
压命题71设(是一个整系数多项式着/是 的一个有理根,其中r,s是互素的整数,则r,s分别是 f(x)的常数项和首项系数的因子特别地当f(x)是 首项系数为1的多项式时,f(x)舶有理根都是整数, 且均为常系数的因子 证明设f(x)=anx+…+ax+an,则有 an(/s)"+…+a1(r/s)+ao=0, 乘以s"可得, a rta rst.tars tas"=o 于是,s{ a, pm, laos,因为r2s互素,所以必有 S ara n 国园國[回
7.1 ( ) . / ( ) , , , ( ) ( ) ( ) f x r s f x r s r s f x f x f x 命题 设 是一个整系数多项式若 是 的一个有理根 其中 是互素的整数,则 分别是 的常数项和首项系数的因子.特别地当 是 首项系数为1的多项式时, 的有理根都是整数, 且均为常系数的因子. 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 ( ) , ( / ) ( / ) 0, , 0, | , | , , | , | . n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a a r s a r s a s a r a r s a rs a s s a r r a s r s s a r a − − − = + + + + + + = + + + + = " " " 证明 设 则有 乘以 可得 于是, 因为 互素,所以必有
例如设f(x)=3x3-x2-6x+2 若f(x)有一个有理根r/s,则必有r12, 人3,从而s∈{出1,±13,±2/3 逐个验证可知,f(x)只有一个有理根 1/3. 国园國[回
3 2 , ( ) 3 6 2. ( ) / , | 2, | 3, / { 1, 2, 1/ 3, 2 / 3}. ( ) 1/ 3 f x x x x f x r s r s r s f x = − − + ± ± ± ± 例如 设 若 有一个有理根 则必有 从而 逐个验证可知, 只有一个有理根 . ∈