§32矩阵的乘法 定义2矩阵的乘法设4=(a)是一个mx矩B=()是一个 nXp矩阵即的列数等于硝行数规定传与硝记B是一个mxp矩阵 其第行第列的元素等于的第行各元素与硝第列对应元素的乘积 之和,即,AB=(c),其中 C=anb+an2b2j+…+amby=∑a1kb 具体地 上页下 圆回
§3.2 矩阵的乘法 2.1( ) ( ) , ( ) , , , ( ) , ij ij ij m p A a m n B b n p A B A B AB m p i j A i B j AB c × = × = × × = 定义 矩阵的乘法 设 是一个 矩阵 是一个 矩阵即 的列数等于 的行数 规定 与 的记 是一个 矩阵 其第 行第 列的元素等于 的第 行各元素与 的第 列对应元素的乘积 之和，即, 其中 1 1 2 2 1 . n i j i j i j in n j ik k j k c a b a b a b a b = = + + " + = ∑ 具体地
a11a12 a n b u b y n a 21 22 a 2n 21b22 b 2 n :: m1 a a m2 mn Im1 Dm2 mn n a1kbk1∑a1kbk2 a k k k= P a2kDk1 a kOK k=1 mk k1 a mkDk2 a mook P 上页
11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n n n n m m m n m m m n n n n k k k k k k p k k k n n n k k k k k k p k k k k a a a b b b a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b = = = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = ∑ … … " " # # # # # # " " " " # # # 1 2 1 1 n n n mk k m k k mk k p k k a b a b a b = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
135 60 例如设A= 79 B=-20,则 41 1×6+3×(2+5×(41×0+3×0+5×1)(205 AB 7×6+9×(2+11×(47×0+9×0+11(-20 定义2.2对角线上元素全是1,其余元素全是 0的n阶单位矩阵,记为I或I,即 0 0 0 0 上页下 圆回
例如 设 则 6 0 1 3 5 , , 2 0 , 7 9 1 1 4 1 A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 6 3 ( 2) 5 ( 4) 1 0 3 0 5 1 20 5 . 7 6 9 ( 2) 1 1 ( 4) 7 0 9 0 1 1 1 20 11 AB ⎛ ×+× − + × − × + × + × ⎞ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ × + × − + × − × + × + × ⎟ ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n 定义2.2 对角线上元素全是1,其余元素全是 0 的 n阶单位矩阵, 记为I 或I,即 1 0 0 0 1 . 0 0 0 1 n I ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " % # # % %
命题2.1设A,B,C,D是矩阵,a是数,则有 1.乘法结合律:(AB)C=A(BC); 2分配律:(A+B)C=AC+BC,D(A+B)=DA+DB 3.a(Bc)=(ab)c=b(ac) 4.ⅠA=AL=A,这里折A是m×n矩阵 证明我们只证名结合律设A=(an)m,B=(bbm,C=() 则B)C和(BO均有意义切均为mX矩阵欲证(4BC=A(BC,只需 证明它们的第第列元素相等实际上(AB)C的第行第列元素等于 AB的第i行元素与C的第列对应元素的乘积,而A硝的第行元素为 ∑b∑4b…2 仇ik1 k=1 k=1 k=1 上页下 圆回
命 题 2.1 设 A,B,C,D是 矩 阵 ,a是 数 , 则 有 ( ) ( ); 2. ( ) , ( ) . 3. ( ) ( ) ( ); 4. , . m n AB C A BC A B C AC BC D A B DA DB a BC aB C B aC I A AI A A m n = + = + + = + = = = = × 1.乘法结合律: 分配律: 这里折 是 矩 阵 ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ), ( ) , A aij m n B ij n p ij p q b C c AB C A BC m q AB C A BC i j AB C i j AB i C j AB i = = × × = × × = 证明 我们只证名结合律.设 则 和 均有意义切均为 矩阵欲证 只需 证明它们的第行第列元素相等.实际上, 的第行第列元素等于 的第行元素与 的第列对应元素的乘积,而 的第行元素为 1 1 1 1 1 1 , , , , n n n ik k ik k ik k k k k a b a b a b = = = ∑ ∑ … ∑
故(AB)C的第i行第j列元素为, aik k1 1i t nbk2|2+… k=1 k=1 k S>9=>0 7=1(k=1 =1k=1 同理可证(ABC的第i第列元素也是∑∑anb 于是(AB)C=A(BC) 上页下 圆回
故 ( ) A B C 的 第 行i 第 列j 元 素 为 , 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . n n n ik k j ik k j ik kp pj k k k p n p n ik kl lj ik kl lj l k l k a b c a b c a b c a b c a b c = = = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ " 1 1 ( ) . ( ) ( ). p n ik kl lj l k AB C i j a b c AB C A BC = = ∑ ∑ = 同理可证 的第 行第 列元素也是 于是
虽然矩阵的加法和数乘与数的加法和乘法没有本 质区别但矩阵的乘法和数的乘法却有着本质不同: 首先,并非任意两个矩阵可乘:只有当A的列数等于 B的行数时,AB才有意义 其次,矩阵乘法不满足交换律:这可从以下几点来看 1.当A,B可乘时B,未必可乘,即B未必有意义,自然谈 不上AB和BA相等了 2即使当A=An,B=B时,AB和BA都有意义,但若m≠n, 则AB是m价矩阵,而BA是m阶矩阵,也谈不上相等 3再进一步,当A,B都是n阶矩阵时,AB和BA虽然也都是n 阶矩阵,但二者仍可不相等,例如,设 上页下 圆回
, 虽然矩阵的加法和数乘与数的加法和乘法没有本 质区别 但矩阵的乘法和数的乘法却有着本质不同: 首先,并非任意两个矩阵可乘:只有当A的列数等于 B的行数时,AB才有意义. 其次,矩阵乘法不满足交换律:这可从以下几点来看 , , , , , . 2. , , , , , , . 3. , , , m n n m A B B A BA AB BA A A B B AB BA m n AB m BA n A B n AB BA = × × = ≠ 1.当 可乘时 未必可乘 即 未必有意义自然谈 不上 和 相等了 即使当 时 和 都有意义 但若 则 是 阶矩阵 而 是 阶矩阵 也谈不上相等 再进一步 当 都是 阶矩阵时 和 虽然也都是n 阶矩阵,但二者仍可不相等,例如,设
01 10 A B 00 00 则 00 01 AB= BA ≠AB. 00 00 最后矩阵的乘法不满足削去律即当A≠O时,一般不 能由AB=AC,或BA=CA得出B=C.例如取AB如上 C=0则A≠0且AB=AC=0,但A≠0 上页下 圆回
0 1 1 0 , , 0 0 0 0 A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 则 0 0 0 1 , . 0 0 0 0 AB BA AB ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ≠ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 最后矩阵的乘法不满足削去律即当 时一般不 能由 或 得出 例如取 如上 则 且 但 , 0 , , .. , , , 0, 0, 0, 0. A AB AC BA CA B C A B C A AB AC A ≠ = = = = ≠ = = ≠
设k是自然数,k个方阵A相乘记为A,称为A的k 次幂易知,对于任意方阵A恒有 AAm=Ak+m, (Ak)m= Akm 而且,当AB=B时还有(AB)=ABk 当AB=BA时,称A,B可换 上页下 圆回
设 是自然数, 个方阵 相乘记为 称为 的 次幂 易知 对于任意方阵 恒有 而且 当 时 还有 , . , , ( ) ; , , ( ) . k k m k m k m km k k k k k A A A k A A A A A A AB BA AB A B + = = = = 当 时 AB = BA , , 称A B可换