北京交通大学：《几何与代数》 第一章（1-4） 向量的积

属将莓代 兆我通式学

第一章几何空间中的向量 第四节向量的积 向量的数量积 向量积 混合积 小结与思考题

第一章 几何空间中的向量 第四节 向量的积 • 向量的数量积 • 向量积 • 混合积 • 小结与思考题

14向量的数量积、向量积与混合积 、向量的教量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F|cose(其中6为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 定义向量在与b的数量积为a·b d·b=l‖bc0s6(其中为与b的夹角)

1.4 向量的数量积、向量积与混合积 一、 向量的数量积 一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义

6 d·b=l‖! 6 cos 6 b cos0=Prjb, acos=Prjba d·b=bPrj=| aPril 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明: I·=a 证∵6=0,∴l·a=l‖lic0sb=l (2)a·b=0←→a⊥b 证(→):a·b=0,|a≠0,|b≠0, c0S6=0,0=兀 d⊥b 2 T (÷):d⊥b,6 cos=0 2 d·b=bc0s=0

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·G; (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c; (3)若为数:(4a)·b=a·(4b)=(a·b), 若九、数:(n)·(pb)=4(a.b)

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

it a=ai +a,j+a, k, b=bi +b,j+b,k i·b (a i+a,j+a, k)bi+b,j+b, k) J a与⊥k,∴·j=jk=ki=0, liik=1 ∴i·i=j·j=k·k=1. d·b=a.b.+a.b.+a.b x y J 数量积的坐标表达式

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

nb= albic06→cs0=a,b l‖b a、b.+a.b.+a.b X X cos 2 2 aa +a 2、/b2+b2+b2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 ib<→a、b.+a.b.+a.b.=0

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1已知={1,1,-4},b={1,2,2},求(1) a·b;(2)与的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)ab=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 (2)c0s6= +a,b +a2 b2 +a.+a 64+b-tb 3 6= 2 3a.b=bPr,a . PrjBa=i b 3. b

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a  与b  的夹角；（3）a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)垂直 证(a·c)b-(b·c)l I(a·d)b·c-(b·cd·d C ·C-·c 0 I(a·c)b-(b·cd

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥