数量积与向量积 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖|cose(其中b为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 定义向量与b的数量积为a·b d·b=‖bcos6(其中为与b的夹角)
数量积与向量积 一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F || s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其中 为a 与b 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积
6 d·b=‖b|cos6 b|cos=Prjb,向量b在向量a方向上的投影 d|cosθ=Pr/a,向量a在向量b方向上的投影 d·b= b prj,a=|a|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积
a b a b | a || b | cos = | b | cos Pr j b, a = 向量b在向量a方向上的投影 | a | cos Pr j a, b = 向量a在向量b方向上的投影 a b b j ba =| | Pr | a | Pr j b. a = 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 数量积也称为“点积”、“内积
关于数量积的说明: (1)a·a=l 证∵6=0,∴l·=l‖lic0sb=l (2)a.b=0←→d⊥b 证(→):·b=0,|l|≠0,|b≠0, c0s6=0,θ=π,∴db 2 (÷)∵a⊥b,6 cos=0 2 n·b=l‖b|cos6=0
关于数量积的说明： (2) a b = 0 a b. ⊥ () a b = 0, | a | 0, | b | 0, cos = 0, a b. ⊥ (1) | | . 2 a a a = () a b, ⊥ cos = 0, a b =| a || b | cos = 0. = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a 证 = = 证 = , 2 , 2 =
数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·G; (2)分配律:(+b)·C=l·C+b·e; (3)若为数(Am)·b=a·()=4(a·b), 若、数:(an)(pb)=x(a·b) 证明(1)、(3)由定义可证 余下证明(2)
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a; = （2）分配律： (a b) c a c b c; + = + （3）若 为数 ( a) b a ( b) (a b), = = 若 、 为数： ( a) ( b) (a b). = 证明 （1）、（3）由定义可证 余下证明（2）
仅就下图所示的情形给出证明,其它情形可 仿此证明 (+b)· IcRi(a+b) lc|(Pr元d+Prjb) a+b/ b cPrja+cprje i·c+bc
仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a b a b + c a b c ( + ) | c | Pr j (a b) c = + | c |(Pr j a Pr j b) c c = + c j ca =| | Pr c j cb + | | Pr a c = b c +
i a=a,+,+, k, b=bi+b,j+b,k b=(a i+a,j y +a2k)·(bi+b,j+b2k) jLk,∴i·j=j…k=k·i=0, i|j=k=1, i·i=jj=k·k=1 i·b=a.b.+a.b.+a.b x y J 数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式
.b=lb|c0sb→c0s0=4:b a、b.+a.b.+a.b cos 6 2 2 b+tb 2 +a.+a 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 db∈→a1bx+a,b,+a2b2=0
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为
例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,},求(1 a·b;(2)a与的夹角;(3)a上的投影 解(1)ab=11+1.(-2)+(4).2=-9 (2)c0s6= a,b +a,b,+a, b a2+an2+a2、b2+b2+b2 3 6= 2 i·b (3)a·b=b|Prjd Jba 3 b
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求（1） a b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ba = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·Cb-(b·c)a垂直 证(a·c)b-(b·c)d =[(a·c)b:c-(b·c)l·dl =(b)·c-a·q 0 I(a·c)b-(b·cd|Le
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
例3应用向量证明 Cauchy--Schwarz不等式 a+a2b2+a3b3a2+a2+a2·++b 证记a={a1,a2,a3}b={1,b2,b3} 则|a=√a2+n2+n2|b}=√研2+b+b d·b=a1b1+a2b2+a3b3 →|ab同=a|·b|·|cos(a,b) ≤a||b|=√a2+a2+a +b2+b →|a1b1+a2+ah2a2+a2+n2所2+b2+b
例3 应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a b + b + b 证 记 a = a1 ,a2 ,a3 b = b1 ,b2 ,b3 则 2 3 2 2 2 1 | a |= a + a + a 2 3 2 2 2 1 | b |= b + b + b a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 | a b | | a | | b | | cos(a,b)| = | a | | b | 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 = a + a + a b + b + b 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a b + b + b