函数图形的指绘 、渐近线 定义:当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线 移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离 趋向于零,那么直线L就称为曲线y=f(x)的 条渐近线 1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线 如果limf(x)=∞或imf(x)=∞ x→x 那么x=x就是y=∫(x)的一条铅直渐近线
函数图形的描绘 一、渐近线 定义: . , ( ) , ( ) 一条渐近线 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 当曲线 上的一动点 沿着曲线 L y f x P L y f x P = = 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那么 就是 的一条铅直渐近线 如果 或 x x y f x f x f x x x x x = = = = → + → −
例如y= (x+2)x-3) 有铅直渐近线两条:x=-2,x=3
例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3
2水平渐近线(平行于x轴的渐近线 如果im∫(x)=b或limf(x)=b(b为常数) →+0 那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线 例如y= arctan, T T 有水平渐近线两条:y = 2 2
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那么 就是 的一条水平渐近线 如果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+ →− 例如 y = arctanx, 有水平渐近线两条: . 2 , 2 = − y = y
3斜渐近线 如果im|∫(x)-(ax+b)=0 x→+ 或im[∫(x)-(x+b=0(a,b为常数) 那么y=ax+b就是y=f(x)的一条斜渐近线 斜渐近线求法: f(x) a, lieff(e)ax=b x→0 那么y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线
3.斜渐近线 ( ) . lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) lim [ ( ) ( )] 0 那么 就是 的一条斜渐近线 或 为常数 如果 y ax b y f x f x ax b a b f x ax b x x = + = − + = − + = →− →+ 斜渐近线求法: , ( ) lim a x f x x = → lim[ f (x) ax] b. x − = → 那么 y = ax + b 就是曲线 y = f (x)的一条斜渐近线
limf(x)=-0,lim∫(x)=+∞, x→1 x=1是曲线的铅直渐近线 又 f(x 2(x-2)(x+3) ∵.m Im = x→0 (x-1) 2(x-2)(x+3) 2x] =im(x-2)(x+3)-2x(x-1)=A x→0 y=2x+4是曲线的一条斜渐近线
= → + lim ( ) 1 f x x − , = → − lim ( ) 1 f x x + , x = 1是曲线的铅直渐近线. = → x f x x ( ) 又lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + → x x x x x = 2, 2 ] ( 1) 2( 2)( 3) lim[ x x x x x x − − − + → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x = 4, y = 2x + 4是曲线的一条斜渐近线
f(r) 2(x-2)(x+3) 的两条渐近线如图 x-1 100 50 50 100
的两条渐近线如图 1 2( 2)( 3) ( ) − − + = x x x f x
二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形 第一步确定函数y=f(x)的定义域对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x) 第二步求出方程f(x)=0和f(x)=0在函数定义 域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间
二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数y = f (x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间
第三步确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的符 号,并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点(可列表进行讨论); 第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步描出与方程∫(x)=0和∫(x)=0的根对 应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形 注描出图形上处于重要位置的点(峰、谷、拐点 与坐标轴的交点等)掌握图形在各部分区间上 的主要性态(升降、凹凸等),比较准确地描 绘处函数图形的特性
第三步 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）； 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第四步 第五步 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形. 注 描出图形上处于重要位置的点（峰、谷、拐点、 与坐标轴的交点等）掌握图形在各部分区间上 的主要性态（升降、凹凸等），比较准确地描 绘处函数图形的特性
三、作图举例 例1作图数/()4(x+1) 2 2的图形 解D:x≠0,非奇非偶函数,且无对称性 f(x)= 4(x+2) f"(x) 8(X+3) 令∫(x)=0,得驻点x=-2, 令∫"(x)=0,得特殊点x=-3 lim f(x)=liml 4(x+1 2]=-2,得水平渐近线y=-2;
三、作图举例 例1 2 . 4( 1) ( ) 作函数 2 − 的图形 + = x x f x 解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性. , 4( 2) ( ) 3 x x f x + = − . 8( 3) ( ) 4 x x f x + = 令 f (x) = 0, 得驻点 x = −2, 令 f (x) = 0, 得特殊点x = −3. 2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 − + = → → x x f x x x = −2, 得水平渐近线 y = −2;
lim f(r)=lim 2 x→0 x→0 得铅直渐近线x=0 列表确定函数升降区间,叫凸区间及极值点和拐点: x(-∞,-3)|-3|(-3,-2)-2|(-2,0)0(0,4∞) f(x 0+存科 0 拐点 极值 3 3 力|断 点
2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 0 0 − + = → → x x f x x x = +, 得铅直渐近线 x = 0. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x (−,−3) − 3 (−3,−2) (−2,0) (0,+) f (x) f (x) + − + 0 f (x) 0 − 2 0 − − − + + 不存在 拐点 极值点 间 断 9 ) − 3 点 26 (−3,−
