高阶导数 、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设s=∫(t),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间功变化率 a(t=v(t=lf(tl 定义如果函数f(x)的导数/(x)在点x处可导,即 c(x)=lim f(x+△x)-f'(x) △x→0 △J 存在则称(f(x).函数f(x)在点处的二阶导数
高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
ydf(x) 记作f"(x),y",2或 dx dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y dx 三阶导数的导数称为四阶导数,f((x),y 般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 (n) dy d f(r) dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 二阶导数的导数称为三阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y f x y 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数
二、高阶导数求法举例 1.直接法由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f"(0),f"(0) 解y 2x J 1+x 1+x2(1+x2)2 2x,) 2(3x2-1) (1+x2)2(1+x2)3 f"(0)=a4+-2y2x-0=f"0)÷2(3x2-1) 2x (1+x2)305-2
二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f = 0; 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x f = −2
例2设y=x°(a∈R),求y( 解 J=ora-I y"=(axa-)'=a(a-1)x y"=(a(-1)x72)=a(a-1)(a-2)x3 )=a(-1)…(a-n+1)x.n(n≥1) 若a为自然数n,则 (n) (n) (n+1) -n,, y
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x ( ( 1) ) 2 = − − y x 3 ( 1)( 2) − = − − x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
例3y=a0x"+a1x"+…+an-1x+an求y 解y'=nanx"l+(n-1ax"2+…+2an2x+an1 y"=n(n-1)anx"2+(n-1)(n-2)a1x"3+…+2an2 J (k=n(n 1)…(n-k+1)aox +(n-1)(n-2)…(n-k)a1x -1 +∴+k! k →y1n=nlao
例 3 ( ) 1 1 0 1 n n n n n y = a x + a x + + a x + a 求y − − 解 2 1 2 1 1 0 ( 1) 2 − − − − = + − + + n + n n n y na x n a x a x a 2 3 1 2 ( 1) 0 ( 1)( 2) 2 − − − = − + − − + + n n n y n n a x n n a x a n k n k k n k k a n n n k a x y n n n k a x − − − − + + + − − − = − − + ! ( 1)( 2) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 0 ( ) 0 ( ) y n!a n =
注意求m阶导数时,求出13或4阶后,不要急于合并 分析结果的规律性,写出m阶导数(数学归纳法证 明)逐阶求导,寻求规律,写出通式 例4设y=n(1+x),求y 解y 1+x (1+x) 3 1+x)3 (1+x) y=(-1)(n-1) (n≥1,0!=1 (1+x)
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 ,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证 明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n
例5设y=sinx,求y 解卩=c0sx=sin(x+ 2 y"=cs(x+)=sim(x+行+)=sim(x+2死 22 y=c0s(x+2. =sin(x+3.2 y=sin(x+n π—2 同理可得(cosx)(")=cos(x+n 2
例5 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n 同理可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n
例6设y= e" sin bx(a,b为常数,求ym 解y′= ae" sin bx+ be cos bx e(asin bx t b cos bx) =e·a2+b2sin(bx+φ)(q= arctan y=Na+b ae sin(bx +(p)+be cos(bx+p) Na+be.va+b sin(bx+2p) b y(n=(a+b2)2.ea sin (bx+no ((=arctan
例 6 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax = sin + cos e (a sin bx bcos bx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax = + + = [ sin( ) cos( )] 2 2 y = a + b ae bx + + be bx + ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b e a + b bx + ax ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b e bx + n ax n n ( arctan ) ab =
2.高阶导数的运算法则: 设函数u和ν具有m阶导数,则 (1)(u±v)")=u()±p() (2)(Ca))=Cu(m) (am+)=m"+B1 (3)(u·v)"=l"+m-uy+"(n-1) L 2! n(n-1)…(n-k+1) 十 (n-k). k +∴+Lp (n) ! ∑Cn k,,(n-k),(k) 莱布尼兹公式 k=0
2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu( ) ( ) ( ) ( ) n n n u + v = u + v ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼兹公式
例7设y=x2e2,求 解设u=e2,p=x2,则由菜布尼兹公式知 y)=(e2))x2+20(e2)"9).(x2y 20(20-1)/2x8 e (x2)"+0 2 =20e2x·x2+20.2le2x.2x 20·19 182x 十 2 2 =2e2(x2+20x+95)
例 7 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 + − + = + e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2 + = + x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x
