同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分学（8.2）偏导数

偏号数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个,但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下,只考虑函数对其中一个自 变量的变化率,因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题,这就是偏导数概念,对此给出如 下定义

偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义

、偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当固定在v而在处有增量 △x时,相应地函数有增量 f∫(xa+△x,y)-∫(x0,y) 如果im f(x+△,)-f(xnyn2存在,则称 △x→>0 △ 此极限为函数z=f(x,y)在点x,y)处对的 偏导数,记为 Oz af ax x=xo axx ,zx=x或f(x0,y0) y=y =o

定义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 一、偏导数的定义及其计算法

同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y)处对 的偏导数,为 lim f(xo,]o+Ay)-f(xo,yo) △y->0 △ az 记为 X= y 或∫(x0,y0) va=xo yx=xo J=o y=yo y=o 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作 af 或f(x,y) ax ax

同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x

f(x, y)=lim f(x+h,y)-∫(x,y) h->0 同理可以定义函数z=∫(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 az,9,z1或/(x,y) oy f, (x, )=lim/(, +h)-f(, y)

h f x h y f x y f x y h x ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = → 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y . h f x y h f x y f x y h y ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = →

偏导数的求法 由偏导数的定义可知,求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求以时把y视为常数而对x求导 ax 求9f时把x视为常数而对y求导 这仍然是一元函数求导问题

偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 x f   求 时把 x 视为常数而对 y 求导 y f   这仍然是一元函数求导问题

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,x)在(x,J,x)处 ∫(x,,列=加imf(x+Ax,y,z)-∫(x,y,z) Ax→0 ∫,(x,y,z)=lim f(x,y+4,z)-∫(x,y,z) 小->0 ∫(x,,列=加mf(x,y,z+Ax)-/(x,y,z) Az->0

如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x    + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y    + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z    + − = → 偏导数的概念可以推广到二元以上函数

般地设 w= f(x 19~29 Ow_lim ∫(x1,…,x1+Ax1,…,xn)-f(x1 v;→>0

一般地 设 ( , , , ) x1 x2 xn w = f  i i i n i n x i x f x x x x f x x x x w i    ( , , , , ) ( , , , , ) lim 1 1 0  +  −   =   → (i = 1,2,  ,n)

例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 0x=2x+3y; =3x+2y ay att1=2×1+3×2=8, y=2 =3×1+2×2=7 例2设乙=x"(x>0,x≠1) 求证x0z 1 az 十 2 y ax In x ay 证 vx x Inx ax

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3 y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . 例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y

x dz 1 oz x zx-+xInx In x oy Inx =xtx=2z 原结论成立 例3设z= arcsin √x+ ay 解Oz ax 1x √x2+y J 2 2 x2+p2)3 LyD 2 x十

y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = ( | |) 2 y = y . | | 2 2 x y y + =

2 x十 2 r t y x t y (-xy) 2 2 2 sgn (x2+y r t y (y≠0)C Oy 不存在 x≠0 y=0 例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数,求证:,OOT av at ap

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在． 例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p