定积分习题课
定积分 习题课
、主要内容 问题1: 问题2: 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 存在定理(定积分广义积分 的定 牛顿-莱布尼茨公式 计 性积 定积分 质分 T'f(x)dx=F(b)-F(a) 法 的
一、主要内容 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 定 积 分 的 计 算 法
二、内容提要 1定积分的定义 定义的实质几何意义物理意义 2可积和可积的两个充分条件 3定积分的性质 线性性f(x)±g(x)d=(x)±g(x)x 可加性,(x)k=(x)+(x)k 非负性若f(x)≥0,则f(x)≥0(a<b)
二、内容提要 1 定积分的定义 定义的实质 几何意义 物理意义 2 可积和 可积的两个充分条件 3 定积分的性质 线性性 b a [ f ( x) g( x)]dx = b a f ( x)dx b a g( x)dx 可加性 b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx 若 f (x) 0，则 ( ) 0 f x dx b a 非负性 (a b)
比较定理 若f(x)sg(x,则!f(x)x≤s,g(x)t(a<b) 估值定理若M和m是f(x)在区间a,b 上的最大值及最小值, m(b-a)s]f(xxx s M(b-a) 积分中值定理 如果函数∫(x)在闭区间[a,b上连续, 则在积分区间[a,b上至少存在一个, 使!f(x)tx=f(5)(b-a)(a≤5≤b) 积分中值公式
比较定理 若 f (x) g(x)，则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) (a b) 估值定理 f (x)在区间[a,b] 上的最大值及最小值， m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 积分中值定理 如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a b) 积分中值公式 若M 和 m 是
变上限定积分及其导数 如果∫(x)在a,b上连续,则积分上限的函数 (x)=J,(0在a,b上具有导数,且它的导数 是Φ(x)= f(tyt=∫(x)(sxSb d x 如果f(x)在[a,b上连续,则积分上限的函数 Φ(x)=「∫()M就是f(x)在u,b上的一个原函 数
变上限定积分及其导数 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就是 f ( x)在[a,b]上的一个原函 数
微积分基本公式如果F(x)是连续函数 f∫(x)在区间[a,b上的一个原函数,则 re r(xk=F(6)-F(@) f(x)dx=[F(x 定积分的计算法牛顿一莱布尼茨公式 (1)换元法 ∫f(x)x=f(p()lp()Mt 换元积分公式 (2)分部积分法 ∫ndh=lpe-wm 分部积分公式
( ) [ ( )] . b a b a f x dx = F x 定积分的计算法 牛顿—莱布尼茨公式 （1）换元法 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) 换元积分公式 （2）分部积分法 = − b a b a b a udv [uv] vdu 分部积分公式 微积分基本公式 如果F( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 +oo b f(x)dx= lim f(x)d b→+a b b f(r)dx= lim f(x)dx (2)无界函数的广义积分 C,f()dx =lim f(x)dx E→1 f(r)dx= lim o f(r)dx E→>+0
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx (2)无界函数的广义积分 b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 b a f (x)dx − →+ = b a lim f (x)dx 0
b b Cf()dx=Sf(x)dx+5f(x)dx lim f(x)dx+ lim f(x)dx 三、典型例题 T 例1 求 sIn 0 sinx+ cos x 解由/=2 SIn cos d dx,设J dx 0 sinx+cos x o sixt cos x 则/+/=k=y sInx- cos x d (cos x +sin x) 0 sinx+ cos x =0 0 sinx+ cosx T 故得2 即I 2
b a f (x)dx = c a f (x)dx+ b c f (x)dx − →+ = c a lim f (x)dx 0 + →+ + b c f x dx lim ( ) 0 三、典型例题 例1 . sin cos sin 2 0 + dx x x x 求 解 , sin cos sin 2 0 + = dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0 + = dx x x x 设 J , 2 2 0 + = = 则 I J dx + − − = 2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J + + = − 2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x = 0. , 2 2 故得 I = . 4 即 I =
例2广义积分中值定理 设fx)在[a,b上连续,g(x)在[,b上可积,且 不变号,则 35∈,使(x)g(xdk=)(xt 证因x)在|a,为止上连续,故八x)在|a,b上必取得 最大值M和最小值m,msf(x)SM 又g(x)在{a,b上不变号故不妨设g(x)≥0 →]g(x)dx≥0mg(x)≤∫( x)g(x)≤Mg(x) →mg(x)dxsf(x)g(x)≤Mg(x)d
例2 广义积分中值定理 设f(x) 在 [a ,b]上连续， g(x) 在 [a ,b]上可积，且 不变号，则 = b a b a [a,b],使 f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 证 因f(x) 在 [a ,b]上连续，故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m， m f (x) M 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 g(x) 0 b a g(x)dx 0 mg(x) f (x)g(x) Mg(x) b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx
若∫8(x)d=0则由上式知∫f(x)g(x)dx=0 →∫/(x)g(xk=/)s(x)可取l内任一点 a b b 若∫x)则g(xd>0(xg(x →n≤ M 由介值定理 f(x)g(x)dx g(r)dx 彐5∈|a,使f(5)=b g(x)dx f(x)g(x dx=f(5 g(x)d
若 ( ) = 0 b a g x dx 则由上式知 = b a f (x)g(x)dx 0 = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 可取[a ,b]内任一点 若 b a b a g(x)dx 0,则 g(x)dx 0 M g x dx f x g x dx m b a b a ( ) ( ) ( ) 由介值定理 = b a b a g x dx f x g x dx a b f ( ) ( ) ( ) [ , ] 使 ( ) = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx