二重积分的计算法(2) 、利用极坐标系计算二重积分 △a;=(r+△r)2·△ r:·△a=r+A =.+△6 2 2G+A)M·△ △ r+(r+△ △r:△6 =·△7:△6, f(x, y)dxdy=l f(rcos 8, rsin O)rdrde
i i i i i i = r + r − r 2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r 2 1 i i i i i r r r r + + = 2 ( ) , i i i = r r ( , ) ( cos , sin ) . = D D f x y dxdy f r r rdrd A o D = i i = i + i i r = r i i r = r + r 二重积分的计算法（2） 一、利用极坐标系计算二重积分
二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 φ(6) r=q2() 极点在区域之外 D a≤6sB, q1(6)sr≤q2(6) f(rcos 0,sine)rdrde Dep do \a:e q2(6) f(rcos 8, rsinerdr 区域特征如图 r=q(6) D F三0 (6) a≤6≤B,q1(6)sr≤g2(6) ∫f(cos,rsin,rrl q2(6) A i de f(rcos 8, sino)rdr. φ1(6
二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 极点在区域之外 A D o ( ) 1 r = ( ) r = 2 , ( ) ( ). 1 r 2 D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1 = d f r r rdr 区域特征如图 o A D ( ) 1 r = ( ) 2 r = , ( ) ( ). 1 r 2 D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1 = d f r r rdr
二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图(极点在D的边界上) P(6 a≤6≤B, 0≤r≤qp(6) f(rcos 0, sino)rdrde q(6) C d∫(reos, rsin O)rdr 0 注意内下限未必全为0 二重积分化为二次积分的公式(3)r=(0) 区域特征如图 D (极点在D的内部)
二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图（极点在D的边界上） o A D r =() , 0 r ( ). D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 = d f r r rdr 注意内下限未必全为0 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 （极点在D的内部） D o A r =()
0≤6≤2π,0≤r≤q(6) ∫(rcos, rsin O)rdr 2兀 (6) 8 f(rcos O, rsin e)rdr. 极坐标系下区域的面积a=rrl0. 例1写出积分们/(x,)p的极坐标二次积分形 D 式,其中积分区域 D={(x,y)1-x≤p≤√1-x2,0≤x≤1 解在极坐标系下 =rcos y=sine
0 2, 0 r ( ). D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0 = d f r r rdr 极坐标系下区域的面积 . = D rdrd 例 1 写出积分 D f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x y − x 0 x 1}. 解 在极坐标系下 = = sin cos y r x r
所以圆方程为r=1, x+y 直线方程为r sin e +cos e f(x,y)dd小y 2|/x+y 0.20.40.60.81 D d:f(rcos,rsinθ)rlr. sin 8+cose 例2计算∫ed,其中D是由中心在 D 原点,半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系下 D:0<r≤a,0≤0≤2π
x + y = 1 1 2 2 x + y = 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = , D f (x, y)dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos 1 + = d f r r rdr 例 2 计算 e dxdy D x y − − 2 2 ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0 r a，0 2
2 - -y dxd d)ert=r(1-e“) D 例3求广义积分e 解D1={(x,y)|x2+y2sR2} D2={(x,y)|x2+y2≤2R S={(x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R} {x≥0,y≥0}显然有D1cScD2 e ∫ ydxdy se x-ds小eao D
e dxdy D x y − − 2 2 − = a r d e rdr 0 2 0 2 (1 ). 2 a e − = − 例 3 求广义积分 − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y R S D1 D2 {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y R S = {(x, y)| 0 x R,0 y R} {x 0, y 0} 显然有 D1 S D2 0, 2 2 − x − y e − − 1 2 2 D x y e dxdy − − S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2 − − D x y e dxdy
又∵∴I dxdy R R R x e = 0 R T I=llexydxdy=2 dee-rdr =(1 R ); 0 0 ∫eady=n( 2R 同理129D2 ); 11<I< 29 T R (1 R 2R < e 当R→时,1→424 T
又 − − = S x y I e dxdy 2 2 − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ; 2 0 2 − = R x e dx I1 = − − 1 2 2 D x y e dxdy − = R r d e rdr 0 0 2 2 (1 ); 4 2 R e − − = 同理I2 = − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − − = , 1 2 I I I (1 ); 4 (1 ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 R R R x e e dx e − − − − − 当R → 时, , 4 1 I → , 4 2 I →
故当R→>∞时,I T T 4 所求广义积分[exd= JO 2 例4计算∫(x2+y2)d,其D为由圆 2+y2=2y,x2+y2=4y及直线x-3y=0 y-√3x=0所围成的平面闭区域 y 解 3x=0 →b, 2 x2+y2=4y→r=4sin6 y= 0 →b, 0.511.522.53
故当R → 时, , 4 I → 即 = − 2 0 ( ) 2 e dx x 4 , 所求广义积分 = − 0 2 e dx x 2 . 例 4 计算 x y dxdy D ( ) 2 2 + ，其 D 为由圆 x y 2 y 2 2 + = ，x y 4 y 2 2 + = 及直线x − 3y= 0 ， y − 3x = 0 所围成的平面闭区域. 解 y − 3x = 0 3 2 = x y 4 y 2 2 + = r = 4sin x − 3y = 0 6 1 =
x2+y2=2y →r=2sinb x2+y2)dxd小y s r. rdr =150 π_、3) 2 sin e 2 例5计算二重积分 sin(π√x2+y2) dxdy x ty 其中积分区域为D={(x,y)1≤x2+y2≤4} 解由对称性,可只考虑第一象限部分, D=4D 注意:被积函数也要有对称性
x y 2 y 2 2 + = r = 2sin x y dxdy D ( ) 2 2 + = 3 6 4sin 2sin 2 d r rdr 3). 2 15( − = 例 5 计算二重积分 + + D dxdy x y x y 2 2 2 2 sin( ) , 其中积分区域为 {( , )|1 4} 2 2 D = x y x + y . 解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D = 4D1 注意：被积函数也要有对称性
sin(兀√x-+ sin(兀VLp dxdy dxdy x ty D x-十 4 2 sin gr rdr 例6求曲线(x2+y2)2=2a2(x2-y2) 和x2+y2≥a2所围成的图形的面积 解根据对称性有D=4D1 在极坐标系下 x+y=→r=a, (x2+y2)2=2a(x2-y2)→r=a√2cos2
+ + D dxdy x y x y 2 2 2 2 sin( ) = 4 + + 1 2 2 2 2 sin( ) D dxdy x y x y = 2 0 1 sin 4 2 rdr r r d = −4. 例 6 求曲线 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y 和 2 2 2 x + y a 所围成的图形的面积. 解 根据对称性有 1 D = 4D 在极坐标系下 , 2 2 2 x + y = a r = a ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y r = a 2cos 2