定积分的性质 、基本内容 对定积分的补充规定: (1)当a=b时,f(x)x=0; (2)当a>b时,f(x)dx=-f(x)k 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当a b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 定积分的性质 一、基本内容
性质1 b 1f(x)±g(x)x=,f(x)t士!,(x)k 证1(x)士g(x)h=lm∑几(5)士g)△ =lim∑f(5)A±limZ8(5)x1 f(x)dc±.g(x)d (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) ∫Σfx)=∑「(x)k i=1
b a [ f (x) g(x)]dx= b a f (x)dx b a g(x)dx . 证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 = = = b a n i b a i n i f i x dx f x dx 1 1 [ ( )] ( )
性质26(xk=k(x)d(k为常数) 证(x)=lm∑的(5△r im∑f(5Ax=klim∑f(5)x kf(xdx 性质1+性质2得:
性质2 = b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质1+性质2 得：
lnf()+ ug(x)dx af(x)dx+u g(x)dx 推广: ∫∑k,1(x)=∑fx)dx 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质
+ b a [f (x) g(x)]dx = + b a b a f (x)dx g(x)dx 推广： = = = b a n i n i b a ki f i x dx ki f i x dx 1 1 [ ( )] ( ) 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质
性质3假设a<c<b f(x)dx=f()dx+5f(x)dx 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<c, ∫∫(x)ds=(x)k+Jf(x)d 则,f(x)ltx=J∫(x)d-(x)d ∫f(x)x+f(x)tx (定积分对于积分区间具有可加性)
假设a c b b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx b a 则 f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3
性质4「1.d b dx= b 性质5(非负性)如果在区间ab1上f(x)≥0, 则(x≥0.(a<b) 证∵∫(x)≥0,∴∫(号)≥0,(=1,2,,n) △:≥0 ∑f(,)△x≥0, 元=max{△x1,△x2,…,△xn} im∑f(5)Ax,=f(x)d≥20 i=1
dx b a 1 dx b a = = b − a. 性质5（非负性） 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i = 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } = x1 x2 xn i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( ) 0. = b a f x dx 性质4
例1比较积分值e和x的大小 解令∫(x)=e-x,x∈[-2,0 f(x)>0, (e-x)dx>0, .exxx,于是ex<xd 性质5的推论:(比较定理) (1)如果在区间a,b上f(x)≤g(x), 则!∫(x)xs,g(x)tx.(a<b) (2)f(x≤f(x)t.(a<b) 说明:|f(x)在区间[a,b上的可积性是显然的
例 1 比较积分值 e dx x −2 0 和 xdx −2 0 的大小. f (x) e x, x 令 = − x[−2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 − − e x dx x e dx x − 0 2 , 0 2 xdx − 于是 e dx x −2 0 . 2 0 xdx − 性质5的推论：（比较定理） 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)， （2） f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . (a b) 说明：| f (x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的. 解
性质6(估值定理)设M及m分别是函数 ∫(x)在区间a,b上的最大值及最小值, 则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a) 证m≤f(x)≤M,mdks!f(x)tsmM, m(b-a)≤f(x)sM(b-a (此性质可用于估计积分值的大致范围) 例2估计积分 sind dx的值 解 4 sInx 77 f(x)= x∈
设M及m分别是函数 f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 证 m f (x) M, ( ) , b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a − − （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x x 2 4 sin 的值. 解 , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [ x 性质6（估值定理）
f"(x) xcos x-sinx cos x(x-tan x) <0 f(x)在花,1上单调下降 故x=听为极大点,x=为极小点M=(巧)=22, m=f()= ∵b-a 元 244 T SInx 2√2兀 dv≤ 兀 SInx 2 < 2
2 cos sin ( ) x x x x f x − = 2 cos ( tan ) x x x − x = f (x)在 ] 2 , 4 [ 上单调下降, 故 4 x = 为极大点， 2 x = 为极小点, , 2 2 ) 4 ( = M = f , 2 ) 2 ( m = f = , 2 4 4 = − b − a = , 4 sin 2 2 4 2 2 4 dx x x . 2 sin 2 2 1 2 4 dx x x 0
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续, 则在积分区间a,b上至少存在一个点, 使f(x)d=∫()(b-a).(a≤5≤b) 积分中值公式 证m(b-a)s∫f(x.xsM(b-a) .m≤ f(x)dx≤M b 由闭区间上连续函数的介值定理知
如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a). (a b) 积分中值公式 证 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − f x dx M b a m b a − ( ) 1 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理）