定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系—微积分基本公式,利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ,而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法,如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算,相信定能使得定积 分的计算简化,下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式
定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式
先来看一个例子 例 x+2 dx √2x+1 换元求不定积分令t=2x+1则x=1(2-1) ∫U+2 t--t+2 133 2d t=t+t+C √2x+1 =(2x+)2+,(2x+1)2+C 故 x+2 22 √2x+
先来看一个例子 例1 + + 4 0 2 1 2 dx x x 换元求不定积分 令 t = 2x + 1 则 ( 1) 2 1 2 x = t − dt t t t dx x x − + = + + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 = t + t + C 2 3 6 1 3 = x + + x + + C 2 1 2 3 (2 1) 2 3 (2 1) 6 1 故 = + + 4 0 3 22 2 1 2 dx x x
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号令t=√2x+1则x= dx= tat 当x从0连续地增加到4时,t相 应地从1连续地增加到3 d t dr v2r+1-0 x+2 22 于是 dx=l(t+3)dt √2x+1 3
为去掉根号 令 t = 2x + 1 则 2 1 2 − = t x dx = tdt 当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3 0) 2 1 1 ( + = dx x dt 于是 = + = + + 3 1 2 4 0 3 22 ( 3) 2 1 2 1 2 dx t dt x x 尝试一下直接换元求定积分
由此可见,定积分也可以象不定积分 样进行换元,所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量,而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分,而不必回代原积分变量 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
、换元公式 假设 (1)f(x)在a,b上连续; (2)函数x=p(t)在a,上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间a,6上变化时,x=p(t)的值 在[a,b上变化,且φ(a)=a、φ(B)=b, 则有f(x)t=|q()lp(ut
一、换元公式 假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( )
证设F(x)是f(x)的一个原函数, ∫(x)x=F(b)-F(a) Φp()=F|p()l df dx (t)= =f(x)0(t)=l()l'(, dx dt Φ()是fp(t)p'(t)的一个原函数 ∫|p()lp(tlt=Φ(β)-Φ(a)
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t) = f [(t)](t), (t)是 f[(t)](t)的一个原函数. [( )]( ) = () − (), f t t dt
q()=、q(B=b, Φ(B)-@(a)=F(6)-F|(a)=F(b)-F(a) r(yd=F(6)-F(a) =(B)-a)s flo(tlo (t)dt. 注意当a>B时,换元公式仍成立
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()]= F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意 (1)用x=φ(t)把变量换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出fq()lp(t)的一个原函数Φ()后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量x的函数,而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了
应用换元公式时应注意: （1） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变. （2） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了
例2计算「a2-x2lx y=a^. 解1由定积分的几何意义 2 0 x ar 0 等于圆周的第一象限部分的面积= 解2a2-x2ac=、a2-x2+ - arcsin+C 2 故|√a2-x2dx
计算 − a a x dx 0 2 2 解1 由定积分的几何意义 − a a x dx 0 2 2 等于圆周的第一象限部分的面积 4 2 a = 解2 C a a x a x x a − x dx = − + + arcsin 2 2 2 2 2 2 2 故 − a a x dx 0 2 2 4 2 a = x = a 2 2 y = a − x o 例2
解3令x= a sint dx=acst x=0→t=0x=a→1个 →a2-x2dt=[a2cos2htl 1+cos2htsm° 解4令x=ac0st 仍可得到上述结果
令 − a a x dx 0 2 2 = 2 0 2 2 cos a tdt = + 2 0 2 (1 cos 2 ) 2 t dt a 4 2 a = 解4 令 x = acost 仍可得到上述结果 x = asin t dx = acost x = 0 t = 0 2 x = a t = 解3