Fourier级数 前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的 幂函数的函数项级数-级数,给出了幂级数 的收敛半径和收敛域的求法,讨论了函数展开为 幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法 间接展开法 从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函 数项级数三角级数,重点讨论如何把函数展 开为三角级数的问题,它的重要应用之一是对周 期信号进行频谱分析,是学习积分变换的基础, 也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和
Fourier 级数 前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的 幂函数的函数项级数------幂级数，给出了幂级数 的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为 幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、 间接展开法。 从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函 数项级数------三角级数，重点讨论如何把函数展 开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对周 期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础， 也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和
、问题的提出 在自然科学与工程技术问题中,常会遇到周期现 象具有周期现象的量,每经过时间T后所取的值就 重复出现,这样的量在数学上可表示成时间t的周 期函数(t+T)=f(t) 正弦函数是一类比较简单的周期函数,而且是应 用十分广泛的一类周期函数。如在简诸振动和正弦电 路电流分析中常遇到正弦型函数 y=Asin(at+o) 但是在实际问题中,除了正弦函数外,还会遇到 非正弦周期函数,它们反映了较复杂的周期运动
一、问题的提出 在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现 象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就 重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周 期函数 f ( t + T ) = f ( t ) 正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应 用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电 路电流分析中常遇到正弦型函数 y = Asin(t +) 但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到 非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动
非正弦型周期函数:巨形波以(0)=1,当-z≤t<0 1,当0≤t<兀 如何深入地研究非正弦型周期函数呢?联系到前面 介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我 们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数 组成的级数 不同频率的正弦波逐个叠加
非正弦型周期函数：巨形波 − − = t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 o t u − 1 −1 如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面 介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我 们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数 组成的级数 不同频率的正弦波逐个叠加
sInt. I 元 元 sin 3t sin 5t, sin /t 43 45 sint u=-(sint +sin 3*) 3
sin7 , 7 1 4 sin5 , 5 1 4 sin3 , 3 1 4 sin , 4 t t t t u sint 4 = sin3 ) 3 1 (sin 4 u t + t =
u=-(sint+sin 3t+=sin 5t) u=-(sint +sin 3t +=sin 5t +-sin 7t) 3 5
sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t = sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t =
u=-(sint +sin 3t +=sin 5t+-sin 7t+sin 9t) 3 5 (t =(sint+ sin 3t + sin 5t +-sin7t + 3
sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t + t = sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 ( ) + + + + u t = t t t t
以电路计算为例,往往将以T为周期的函数化 成一系列不同频率的正弦量之和 y=∑A,sin(mo+9n)=4+∑A,sin(nar+gq,) 将周期函数按上述方式展开,其物理意义是很明确 的,这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不 同频率的简谐振动的叠加
以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化 成一系列不同频率的正弦量之和。 = = = + = + + 1 0 1 sin( ) sin( ) n n n n n n y A nt A A nt 将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确 的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不 同频率的简谐振动的叠加
二、三角级数三角函数系的正交性 1.三角级数 f(1)=A+∑A1in(not+qn)谐波分析 =A0+∑( A sinφnc0snOt+ An, coS (P sin not) 1E 05 An sin (n, b,=A, cos p, ot=x 0+∑( a. cos nr+ b sinn)三角级数 n-=1 2.三角函数系的正交性三角函数系 1. cosx sinx. cos 2x. sin2x.... cos nx. sinnx
二、三角级数 三角函数系的正交性 1.三角级数 = + + =1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A n t 谐波分析 = + + =1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A n t A n t , 2 0 0 A a 令 = sin , n An n a = cos , n An n b = t = x, + + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 三角级数 2.三角函数系的正交性 三角函数系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,
正交: 任意两个不同函数在-,上的积分等于零 cos ndx=0 sinned=0 T sin mr sin nrdr s∫0,m≠n T. =n 0,m≠n cos mx cos ndx 7. =n ∫ sin mx cos nxdx=0.(其中mn=1,2
[ , ] . : 任意两个不同函数在 上的积分等于零 正交 − cos = 0, − nxdx sin = 0, − nxdx , , 0, sin sin = = − m n m n mx nxdx , , 0, cos cos = = − m n m n mx nxdx sin cos = 0. − mx nxdx (其中m,n = 1,2, )
三、函数展开成傅里叶级数 问题:1若能展开,1,b1是什么 2展开的条件是什么? 傅里叶系数 若有∫(x)=+∑( a cos kx+ b, sin kr) k=1 (1)求a /(x)h=/ax+r∑(u cos lx+bk sin k)jdx =1
三、函数展开成傅里叶级数 问题: 1.若能展开, ai ,bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数 = + + =1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a 若有 f x (1) . 求a0 dx a kx b kx dx a f x dx k k k [ ( cos sin )] 2 ( ) 1 0 = + + − = − −