常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究, 往往需要寻求变量间的函数关系,但根据 问题的性质,常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式,这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程,本章讨论的是前者
常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者
常微分方程是现代数学的一个重要分支,内容 十分丰富,作为一种有效的工具在电子科学、自动 控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限,高等数学中的常微分方程仅包 含几种特殊类型的一阶微分方程的求解,可通过降 阶求解的高阶微分方程,二阶常系数齐次和非齐次 线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方 法。 本章先从解决这类实际问题入手,引出微 分方程的一些基本概念,然后着重讨论一些特殊 类型的微分方程的求解方法
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容 十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动 控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包 含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降 阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次 线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方 法。 本章先从解决这类实际问题入手，引出微 分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊 类型的微分方程的求解方法
重点 五种标准类型的一阶方程的求解 可降阶的高阶方程的求解 二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解 难点 求解全微分方程 求常系数非齐次线性方程的通解
重点 五种标准类型的一阶方程的求解 可降阶的高阶方程的求解 二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解 难点 求解全微分方程 求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求 ①明确微分方程的几个基本概念 ②牢固掌握分离变量法,能熟练地求解可 分离变量的微分方程 ③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式, 会将 berno方程化为一阶线性方程来求解 ④掌握全微分方程的解法 ⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程 ⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
基本要求 ①明确微分方程的几个基本概念 ②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可 分离变量的微分方程 ③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解 ④掌握全微分方程的解法 ⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程 ⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
、问题的提出 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) =2x其中x=时,y=2 y=2xc即y=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 其中 x = 1时, y = 2 y = 2xdx , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x +
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶 当制动时列车获得加速度-04米/秒,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动后t秒钟行驶s米,=(t) d 2-0.4t=0时,s=0,y==2, v==-0.4t+C1S=-0.22+C1t+C2 dt
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C
代入条件后知C,=20.C1=0 0.4t+20, 故s=-0.2t+20t, 开始制动到列车完全停住共需t=20=50(秒, 列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500(米)
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 = = −0.4t + 20, dt ds v 故 0.2 20 , 2 s = − t + t 开始制动到列车完全停住共需 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米
微分方程的定义 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例y=x,y+2y-3y=e, (t+x)dt+xd=0 O rt y ax 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, 2 3 , x y + y − y = e ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
分类1:常微分方程,偏常微分方程. 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数 分类2 阶微分方程F(x,y,y')=0,y=∫(x,y); 高阶(m)微分方程F(x,y,y,…,ym)=0, y()=∫(x,y,y,…,y(m)
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类2: 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y
分类3:线性与非线性微分方程 y+p(xy=o(), x(y-2yy+x=0; 分类4:单个微分方程与微分方程组 「=3y-2, =2]-z
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy