Gren公式(1)
Green 公式（1）
、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区 域,否则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. D 单连通区域 D 复连通区域 一、区域连通性的分类
设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面,则称G为空间一维单连通区域 一维单连通 维单连通一维不连通 二维单连通 二维不连通二维单连通
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G 一维单连通 二维单连通 G 一维单连通 二维不连通 G 一维不连通 二维单连通
二、 Green公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成函 数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 00 aP ax ay )dxdy =f, Pdx+edy (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫 Green公式
二、Green 公式 定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函 数P(x, y)及Q(x, y)在D 上具有一阶连续偏导数, 则有 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫 Green 公式
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边
L2 D L1 L由L1与L2连成 L2 L1 D L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边
证明(1) E5(x) 若区域D既是X-型x=vl(y B 又是Y-型,即平行于 坐标轴的直线和L至 x=y,y) 多交于两点 Cy=p(r) D={(x,y)q1(x)≤p≤q2(x,≤x≤b} D={(x,y)v1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤a}
证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. y x o D a b cd C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d
00 d v200)80 dxdy= dy vi(y)ax =w2(,y)y-(m),y [ang(x,yd-上Q(x,y)d YIu Q(x,y+」Q(x,y)d CBE y2(y) t o(x, y)dy L 同理可证 aP dxdy=k, P(x,y)dx
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , )
两式相加得∫(ab)-+b 证明(2) D. L 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D 将D分成三个既是X一型又是A Y一型的区域D1,D2,D3 00 aP )dxdy Dandy ax a +D2+O ex a
两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 证明(2) 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, L L1 L2 L3 D D 1 D 3 D 2 将 D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ
00 aP 80 aP 00 aP )diddy+ )dxdy t ax a ax oy )drdy =P+Q+」,P+Qd+」,Px+Q 「Pd+d (L1L2,L3对D来说为正方向)2
− + − + − 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向
证明(3 若区域不止由一条闭曲 线所围成添加直线段ABCE 则D的边界曲线由BL2,B AFC. CE,L3,EC及CGA构成D 由(2知(Q2-)M =可J++」+』}(Px+Q小y)
证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D的边界曲线由AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成. D L3 L2 L1 A B C E 由(2) 知 − D dxdy yP xQ ( ) = + + + + AB L 2 BA AFC CE { + + + + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3