曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域,在应用领域,有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过 某曲面的流体的流量等,为解决这些问题,需要 对积分概念作进一步的推广,引进曲线积分和曲 面积分的概念,给出计算方法,这就是本章的中 心内容,此外还要介绍 Green公式、 Gauss公 式和 Stokes公式,这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系
曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过 某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要 对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲 面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中 心内容，此外还要介绍 Green 公式、Gauss公 式 和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系
重点 第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法 Gren公式、 Gauss公式 曲线积分与路径无关的条件 难点 第二型曲面积分的计算 基本要求 ①正确理解曲线积分和曲面积分概念 ②熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
重点 第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法 Green公式、Gauss 公式 曲线积分与路径无关的条件 难点 第二型曲面积分的计算 基本要求 ① 正确理解曲线积分和曲面积分概念 ②熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
③掌握几种积分间的联系,明确它们在概念、 性质、计算方法上的异同 ④掌握第二型曲线积分与路径无关的条件 ⑤牢固掌握 Green公式及其成立条件 ⑥牢固掌握GauS公式及其成立条件
③掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、 性质、计算方法上的异同 ④掌握第二型曲线积分与路径无关的条件 ⑤牢固掌握Green公式及其成立条件 ⑥牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件
对孤长的曲线积分及其计 B 、问题的提出 (,m) 实例:曲线形构件的质量 M 匀质之质量M=pS A M 分割M, 1542,9 M,→>△s 取(5,m)∈△,△M1≈D(5,m1)△ 求和M≈∑m(5,n)△,近似值 取极限M=im∑p(5,n)△s,「精确值
对弧长的曲线积分及其计算 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = s. o x y A B M1 M2 Mi−1 Mi Mn−1 L ( , ) i i 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 近似值 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为△,又(ξ1,n1)为第 i个小段上任意取定的一点,y B 作乘积(,n)As, (5,n 并作和∑∫(5,n)△s
二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作(x,),即 被积函数 J/(c)=如时②(n)4△外 i=1 积分弧段 气积分和式 曲线形构件的质量M=Jm(x
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 积分弧段 被积函数 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分(x)存在 3推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 f(x,y,z)d=lim∑f(9,m,51)△s ->0 i=1
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) 「.(xy)b=f(xy)+f(x) 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为,f(x,y)s 4性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,9(x,y)d
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds
(2),(x,y)d=k,f(x,y)ds(k为常数) (3)f(x, y)ds= f(x, y)ds+l. f(x,y)ds. (L=L1+L2) 对弧长曲线积分的计算 定理设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=%0,(a≤t≤)其中 y=y() q(t),v(t)在a,止上具有一阶连续导数,且 J,f(x, y)ds= flp(), y(0N92(0+y'(dt (a<B)
(2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 三、对弧长曲线积分的计算 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 定理 设 在曲线弧 上有定义且连续
注意: 定积分的下限a一定要小于上限B; 2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b ∫f(x,y)b=八1x,y(x)1+v"(x) (2)L:x=q(y)c≤y≤ ff(r,y)ds=/p(D), yl1+o'(y)dy
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = +