对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分,对第 类曲线积分 L P(x,y)ds=im∑p(5,m)4 元->0 其物理背景是曲线型构件的质量,在此质量问 题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度,小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积,相应地得和 式 im∑p(5,mn,51)AS 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
对面积的曲面积分 一 、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一 类曲线积分 n i i i i L x y ds s 1 0 ( , ) lim ( , ) 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 式 n i i i i Si 1 0 lim ( , , ) 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
实例若曲面∑是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 4000 有切平面,且当点在 2000 曲面上连续移动时 切平面也连续转动 -20
实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数( x, y,z), 求它的质量. 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
1.定义设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,在Σ 上有界把分成n小块AS;(AS同时也表示 第小块曲面的面积),设点(5,7,5)为△S上任 意取定的点作乘积(5,,41)△S 并作和∑f(5,m,)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 记为 ∫(x,y,孔)dS 即』∫(x,y2d=imC/(5,m,9△S
1.定 义 设曲面是光滑的, 函数f(x, y,z)在 上有界, 把分成n小块Si （Si 同时也表示 第i小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上任 意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和 n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f(x, y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 记为 f (x, y,z)dS. 即 f (x, y,z)dS i i i n i f i S lim ( , , ) 1 0
其中f(x,y,z)叫被积函数, 其物理背景是面密度为∫(x,y,乙)的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面∑1及Σ2,则 f(x,v, z)ds f(x, y, z)dS+l f(x,y,z)ds 由上述定义可知其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似
其中 f (x, y,z)叫被积函数， 其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 f (x, y,z)dS 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似
i)线性性∫(4/+1g)s=2∫s1」as i)可加性』/S=』s+』0s(=+2 ⅲ)存在性若f(x,y,)连续,则f(x,y,x)在 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种:
ⅰ）线性性 (f g)dS fdS gdS ⅱ）可加性 1 2 fdS fdS fdS ( ) 1 2 ⅲ）存在性 若 连续 则 存在 f (x, y,z) , f (x, y,z)dS 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：
若曲面∑:z=x(x,y) 则|f(x,y,)dS ∫[Lx,y (x,y)l1+zx2+z列yd lays 是甲E:1=1(Cx) 则∫f(x,y,z)dS ∫x,ux,x,1+y2+yd;
1. 若曲面 : z z( x, y) 则 f (x, y,z)dS [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y 2. 若曲面 : y y(x,z) 则 f (x, y,z)dS [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z
3.若曲面∑:x=x(y,z) 则∫f( x,少,zdS= ∑ ∫x(yD,y4l+x2+x:dht 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为:一代、二换、三投影 代:将曲面的方程代入被积函数 换:换面积元dS 投影:将曲面投影到坐标面得投影区域
3. 若曲面 ： x x( y,z) 则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 dS 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
注 (1)这里积分曲面的方程必须是单值显函数,否则 可利用可加性,分块计算,结果相加 (2)把曲面投影到哪一个坐标面,取决于曲面方程 即方程的表达形式 (3)将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 (4)切记任何时候都要换面积元
注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加 （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式 （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 （4）切记任何时候都要换面积元
例1计算∫(x+y+z)s,其中∑为平面 y+x=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 ∑ 5 投影域: ={(x,y)x2+y≤25} 0.5 S=、/1+ +zl dxdy 1+0+(-1)y=√2dd
例1 计算 (x y z)ds, 其中为平面 y z 5被柱面 25 2 2 x y 所截得的部分. 解 积分曲面 ：z 5 y , 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy x y x y dS z z dxdy x y 2 2 1 dxdy 2 1 0 (1) 2dxdy
故∫(x+y+2)d ∑ /(x+y+5-y)d=2】』(5+x) 2 de (5+rcos O)rdr=125 2T 例2计算∫(x2+y2)S其中锥面z=√x2+y2 与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面 解将E分成两部分 z x-十 0≤z≤1 ∑, 2 +y2≤1
故 ( x y z)ds Dxy 2 ( x y 5 y)dxdy Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr 5 0 2 0 2 (5 cos ) 125 2. 例2 计算 ( x y )dS 2 2 2 2 其中是锥面 z x y 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解 将 分成两部分 : 0 1 2 2 1 z x y z : 1 1 2 2 2 z x y