作业 P176习题63 16。19。20 P182习题6.4 3(2)(6).5.7(3)(7).9 P186习题65 4.5。25。 2021/2/20 预习:P198210
2021/2/20 1 作业 P176 习题6.3 16. 19. 20. P182 习题6.4 3(2)(6). 5. 7(3)(7). 9. P186 习题6.5 4. 5. 25. 预习: P198—210
第十八讲定积分(三) 定积分的换元积分法 (例题) 定积分的分部积分法 5、综合例题 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第十八讲 定积分（三） 一、定积分的换元积分法 （例题） 二、定积分的分部积分法 三、综合例题
定积分的换元积分法 定理1:(定积分的换元积分法) 设函数f(x)∈C{a,b,作变换x=g(t) 满足三个条件: (1)q()∈CIa,B; (2)asq(1)≤b; (3)φ(a)=a,q(B)=b, 则有∫。f(x)dk=Jm10)g(old 2021/2/20
2021/2/20 3 = = = = f x dx f t t dt a b a t b t C f x C a b x t b a ( ) [ ( )] ( ) (3) ( ) , ( ) , (2) ( ) ; (1) ( ) [ , ]; ( ) [ , ], ( ), 1 则 有 满足三个条件： 设函数 作变换 一、定积分的换元积分法 定理1: (定积分的换元积分法)
「例若f(x)在对称区间-a,al连续则 (1)当f(x)为偶函数时有 ∫。f(x)t=2J(x) (2)当f(x)为奇函数时有 f(xdx=o 证(1)∫。f(x)k=f(x)d+f(x)h 对于右端第一项作变换:x=-t 又由f(x)为偶函数知 2021/2/20 f(x)=∫(-t)=∫(t)
2021/2/20 4 当 为偶函数时 有 例 若 在对称区间 上连续 则 (1) ( ) , [ 1] ( ) [ , ] , f x f x −a a = −a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ( ) = 0 −aa f x dx (2)当f (x)为奇函数时,有 = + − − a a aa f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 又 由 为偶函数知 对于右端第一项作变换 ( ) , : f x x = − t [ 证](1) f ( x ) = f ( − t ) = f ( t )
从而由换元公式,得 0 f()de f(tdt=Lf(tdt 为什麼? ∫;f(x)dk 定积分与积分变量 所用字母无关! 0 →」f(x)=」f(x)+」f(x)dt 0 =mf(x)d+/(x)dk=2”/(x) 例如]: Z2 x arcsinx d =0 2 2021/2/20
2021/2/20 5 = − = − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f t dt f t dt 为什麽? = a f x dx 0 ( ) 定积分与积分变量 所用字母无关！ = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = + = a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) = 0 − − 2 1 2 1 2 2 1 arcsin dx x x x ［例如］: 从而由换元公式，得
例21计算∫ 2 sInx cosr 2 -I 1+sin x 解 憂smx+coSx dx=2 登1+sin2x 0 1+sin x 1例3计算「(x+3) 解∫(x+31-=「 9 9 9兀 9-xd 2 2021/2/20
2021/2/20 6 [ 例2] − + − 33 2 9 ( 3 ) 1 dx x 计 算 x − + 2 + 2 2 1 sin sin cos dx x x x 计 算 2 = − + − 33 2 9 ( 3 ) 1 dx x x [ 例3] [ 解 ] [ 解 ] − = − 33 2 9 3 1 dx x − = − 33 2 9 x dx + = 20 2 1 sin cos 2 dx x x − + 2 + 2 2 1 sin sin cos dx x x x 29 =
利用定积分的换元法可以证明: 若f(x)是一个以T为周期的连续 函数,则对任意的实数,有 ∫。f(x)ds=J6f(x)x a+T f∫(x)dx a+T f()dx+ f()dx+ f(x)dx 0 (2) (3) 证(1)+(3)=0 2021/2/20 7
2021/2/20 7 利用定积分的换元法,可以证明： = a+T T a f x dx f x dx a f x T0 ( ) ( ) , , ( ) 函 数 则对任意的实数 有 若 是一个以 为周期的连续 [证 ] + + = + + a T T T a a T a f x dx f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 证(1)+(3)=0
作变换x=t+T,dx=dt a+T f()dx=l f(t+ r)di L f(odt=f(x)dx=- f(x)dx 0 所以「。 at T f()dx= f(xdx 例如∫f(x)d=可jf(x)d(m为正整数 0 2兀 2 sIn xax sIn xax 2021/2/20
2021/2/20 8 = 2 0 2 20 2 sin 4 sin xdx xdx ( ) ( ) ( ) 0 0 f x dx n f x dx n为正整数 nT T = = + a + T a T f x dx f t T dt 0 ( ) ( ) = = = − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a f t dt f x dx f x dx 作变换 x = t +T,dx = dt = a+T T a f x dx f x dx 0 所以 ( ) ( ) 例如
二、定积分的分部积分法 定理2:(定积分的分部积分法) 设函数u(x),v(x)在区间a,b上 有连续的一阶导数(x)2v(x)2则有 分部积分公式 (x)·v(x)dx b b =(x)·v(x) v(x)·u(x)dx 2021/2/2
2021/2/20 9 分部积分公式 有连续的一阶导数 则 有 设函数 在区间 上 ( ), ( ), ( ), ( ) [ , ] u x v x u x v x a b = − b a b a b a u x v x v x u x dx u x v x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 二、定积分的分部积分法 定理2: (定积分的分部积分法)
[证]利用牛顿莱布尼兹公式 Iu(x)·v(x)=u(x)·v(x)+u(x)p(x) 由条件上式右端是连缅数,从而左端 (x)v(x)是连续函数利用N-L公式 得「"lu(x),v(x)dx=(x)v(xa 而右端的积分为 b Iu(x)…v(x)+l(x)…v(x)dx b u'(x)v(x)dx+u(x).v'(x)dx 2021/2/20
2021/2/20 10 [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x) 得 是连续函数利 用 公 式 由条件上式右端是连续函 数 从而左端 [ ( ) ( )] . , , u x v x N − L [ ( ) ( )] ( ) ( )| b a b a u x v x dx = u x v x = + + b a b a b a u x v x dx u x v x dx u x v x u x v x dx ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 而右端的积分为 [证] 利用牛顿—莱布尼兹公式