诈业 P218综合题 6.7。13.16 复习:P198218 预习:P220235 2021/2/20
2021/2/20 1 作 业 P218 综合题 6. 7. 13. 16. 复习: P198—218 预习: P220—235
第二十讲 定积分的应用(=) 几何应用(续) 二、物理应用 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第二十讲 定积分的应用（二） 一、几何应用(续) 二、物理应用
(五)旋转体的侧面积 f(x) T 0 Ix+ b 用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的 侧面积近似 2021/2/20
2021/2/20 3 x x +dx M T a b x y o （五）旋转体的侧面积 y = f (x) 用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的 侧面积近似
圆台侧面积=xy+(y+dy) 2nll+mhy·l 当dx→0时,4d=o(dx),略去! 得侧面积微元: 2 ds= 2nydl=2/v1+yds b 侧面积S=2zy1+y2tx 2021/2/20 4
2021/2/20 4 ydl dy dl y y dy dl = + = + + 2 圆台侧面积 [ ( )] 得侧面积微元： 当dx → 0时, dy dl = o(dx), 略去！ dS ydl y y dx 2 = 2 = 2 1 + = + b a S y y dx 2 侧面积 2 1
「例8]求圆x2+(y-b)2=a2绕x轴旋转所得 旋转体环体的表)腼积S.(0<a<b) 解上半圆方程n=b+a2-x2 下半圆方程y2=b-a2-x2 b 2 2 2 →√1+y 2 2 2021/2/20
2021/2/20 5 ( ) ( ) . (0 ) [ 8] ( ) 2 2 2 S a b x y b a x + − = 旋转体 环 体 的 表 面 积 例 求 圆 绕 轴旋转所得x y −a o a b 上半圆方程 2 2 1 y = b + a − x 下半圆方程 2 2 2 y = b − a − x 2 2 2 2 2 2 2 1 a x x y y y − = = = 2 2 2 1 a x a y − + = [解]
所求面积为上、下半挠x轴旋转的 侧面积之和故 S=2S,=4兀 ViVI+yi dx+4 22v1+y2d 4丌|(b+ 2 x2)+(b-Va2-x2 2 a -x =8元b 2 8ab arcsin =4ab 2021/2/20
2021/2/20 6 侧面积之和故 所求面积为上、下半圆绕 轴旋转的 , x = = + + + a a S S y y dx y y dx 0 2 2 2 0 2 1 1 1 2 4 1 4 1 dx a x a b a x b a x a 0 2 2 2 2 2 2 4 [( ) ( )] − = + − + − − − = a a x dx ab 0 2 2 8 ab a x ab a 2 0 = 8 arcsin | = 4
二、物理应用 (-)引力问题 例1设有一均匀细栝长为2l,质量为M另有 质量为m的质点位于细杆所在直线上 与杆的近端的距离为.求细杆对质点的 引力F M 解 xx+dx 2+a 两质点之间的引力=k"m x2120循万有引力定律
2021/2/20 遵循万有引力定律 7 两质点之间的引力, 2 1 2 r m m f k = 二、物理应用 （一）引力问题 . . , , [ 1] , 2 , . F a m l M 引 力 与杆的近端的距离为 求细杆对质点的 一质量为 的质点 位于细杆所在直线上 例 设有一均匀细杆长 为 质量为 另 有 • o a 2l + a m M x [解] x x + dx
分割区间a,a+2 取小区间x,x+dxl,视为质点质量:dx 2l →dF=km·(dx) lmM 1 2 2 x 2 ur 从a到a+2球求积分,得到细杆对质点的引大 a+21 mM 1 21 x mM1、+21kmM 2021/2/20 2l x a a(+2)
2021/2/20 8 分割区间[a,a + 2l] dx l M x x dx 2 取小区间[ , + ],视为质点,质 量: dx l x kmM x m dx dF k l M 2 2 2 1 2 ( ) = = 从a到a + 2l求积分,得到细杆对质点的引力 + = a l a dx l x kmM F 2 2 1 2 | 2 ) 1 ( 2 a l x a l kmM + = − a(a 2l) kmM + =
例2]细杆、质点同例质点位于细杆 的垂直平分线上距杆的中心为 求细杆对质点的引力 「解 J 向量加法 dF 6 dF x+dx 2021/2/20 13
2021/2/20 9 . , . [ 2] 1. F a 求细杆对质点的引力 的垂直平分线上距杆的中心为 例 细杆、质点同例 质点位于细杆 x y o − l l a dF 向量加法 x dF y dF x x + dx • [解] 13 ●b
设引力F={F,F} 由于细杆均匀质点关于细杆的位置 对称性故F=0,只须求F J 分割区间-l,l 取小区间x,x+dx,视为质点质量 M 2 →aF=m(%d)_kmM1 d x 2 2 xa 2l 2 x fa kmMc d F=-d cos0= d 2l 2021/2/20 x ta
2021/2/20 10 { , } 设引力 F = Fx Fy , 0, . , 对称性 故 Fx 只须求Fy 由于细杆均匀质点关于细杆的位置具有 = 分割区间[−l,l] dx l M x x dx 2 取小区间[ , + ],视为质点,质 量: dx l x a kmM x a m dx dF k l M 2 2 2 2 2 1 2 ( ) + = + = dFy = − dF cos dx x a l kmMa 2 3 2 2 ( ) 1 2 + = −