作业 P236习题8.2 18。20 P241习题8.3 3.5。6.7。12。16 复习P220245 2021/2/20
2021/2/20 1 作业 18. 20. 复习 P220—245 P236 习题 8.2 P241 习题 8.3 3. 5. 6. 7. 12. 16
第二十三讲 常微分方程(三) 可降阶微分方程 常微分方程应用举例
第二十三讲 常微分方程（三） 二、常微分方程应用举例 一、可降阶微分方程
高阶可降阶微分方程 (一)y"=f(x)型 逐次积分 积分一次 y=∫f(x)dx+C 再积分一次 y=f(xdx)dx+Cx+C2 2021/2/20
2021/2/20 3 （一）y''= f(x) 型 逐次积分 一、 高阶可降阶微分方程 积分一次 1 y = f (x)dx + C 再积分一次 1 2 y = ( f (x)dx)dx +C x + C
(二)y=f(x,y)型 不显含未知函数 变量替换令y=D=D(x) y =p 原方程变形成为 p'=f(x,p)-阶 2021/2/20 4
2021/2/20 4 令 y = p = p(x) y = p 变量替换 原方程变形成为 不显含未知函数y （二）y = f (x, y)型 p = f (x, p) 一阶
「例1求解x2y"+x=1 「解特点是:不显含y 令y=p=p(x) x p+ xp=l p+-p P +-Inlx 2 →y=xx +Inx积分得通解 y=CIn(x+In2 x+C2 2021/2/20
2021/2/20 5 [ 1] 1 2 例 求 解 x y + xy = [解] 特点是：不显含 y 令 y = p = p(x) 1 2 x p + xp = 2 1 1 x p x p + = x x x C p ln 1 1 = + x x x C y ln 1 1 = + 积分,得通解 2 2 1 ln 2 1 y = C ln x + x + C
「解2注意到方程的特殊性 十 x(xy"+y)=1 x(xy)"=1 xy”)"= xy=In/x+Cl 积分得通解 y=C, In(x+Inx+C2 2 2021/2/20 6
2021/2/20 6 [解2] 注意到方程的特殊性 1 2 x y + xy = x(xy + y) = 1 ( xy')' x(xy')'= 1 x xy 1 ( ')'= 1 xy'= ln x +C x x x C y ln 1 1 = + 积分,得通解 2 2 1 ln 2 1 y = C ln x + x + C
(三)y=f(y,y)型 不显含自变量c 变量替换令y=p=p( d y dpdp dy P X 原方程变形成为 dp p"=∫(y,p) 阶 2021/2/20
2021/2/20 7 不显含自变量x （三）y = f ( y, y)型 令 y = p = p( y) dy dp p dx dy dy dp dx dp dx d y 2 = = = 2 f ( y, p) dy dp p = 一阶 变量替换 原方程变形成为
「例2求解1+yy”+y2=0 解]特点是:不显含x 令y=p=p(y) 方程化为1+ypp'+p2=0 分离变量 pap 2 1+p 积分1lm(1+p2)=mly+1mC1 2021/2/20 8
2021/2/20 8 [ 2] 1 0 2 例 求解 + yy + y = [解] 特点是：不显含 x 令 y = p = p( y) 方程化为 1 0 2 + ypp + p = 分离变量 y dy p pdp = − + 2 1 积分 1 2 ln 2 1 ln(1 ) ln 2 1 + p = − y + C
(1+p2)y2=C1 l、,2 P=± 即dx 分离变量解得(x+C2)2+y2=C1 2021/2/20
2021/2/20 9 1 2 2 ( 1 + p ) y = C y C y p 2 1 − = y C y dx dy 2 1 − 即 = 分离变量解得 1 2 2 2 ( x + C ) + y = C
二、常微分方程应用举例 列方程的常用方法 (1)利用物理定律列方程 (2)利用导数的几何意义列方程 (3)利用微元分析法列方程 2021/2/20
2021/2/20 10 列方程的常用方法 (1) 利用物理定律列方程 (2) 利用导数的几何意义列方程 (3) 利用微元分析法列方程 二、常微分方程应用举例