作业 P59习题3.1 8.9(3)(6).11(2(6) 12。13 预习P60-67.P70—78 2021/2/20
2021/2/20 1 P59 习题3.1 作 业 预习P60 —67. P70 —78 8. 9 (3)(6). 11(2)(6). 12. 13
第五讲导数与微分(一) 引言 、导数定义与性质 三、函数的微分 四、可忌、可微与连续的关系 五、基本导数(微分)公式 2021/2/20
2021/2/20 2 第五讲 导数与微分（一） 二、导数定义与性质 五、基本导数（微分）公式 一、引言 三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系
引言 两个典型背景示例 [例1]运动物体的瞬时速度 设汽车沿t轴作直线运动若己知其运动 规律路程与时间的函数关系为x=x(t) 求在时刻t的瞬时速度 0 t=to+ 2021/2/20
2021/2/20 3 一、引言 两个典型背景示例 [例1] 运动物体的瞬时速度 设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 求在时刻 的瞬时速度. x = x(t) 0 t 0 t t = t + t 0 t
解!(1)求时段t到+4的平均速度 v(n,t)=0 x(to +4t)-x(to) ∠1t (2)平均速度的极限是瞬速度 v(to=lim x(to+4t)-x(to) At→0 At 如果极限存在,这个极限值就是质点的 瞬时速度 2021/2/20
2021/2/20 4 [解] (1) 求时段t 0 到t 0 + t的平均速度 t x t t x t v t t ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 + − = (2)平均速度的极限是瞬时速度 t x t t x t v t t ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 如果极限存在, 这个极限值就是质点的 瞬时速度
[例2]曲线的切线斜率问题 设曲线L,其方程为y=f(x)(a≤x≤b) f(x)∈Cla,b x∈(a,b),求曲线L在点M0(x0,%)的切线 (其中y=f(x0) 什麽是曲线的切线? 2021/2/20
2021/2/20 5 [例2] 曲线的切线斜率问题 ( , ( )). ( , ), ( , ) ( ) [ , ]. , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 y f x x a b L M x y f x C a b L y f x a x b = = 其 中 求曲线 在 点 的切线 设曲线 其方程为 什麽是曲线的切线？
当N→M0时,割线 的极限位置就是切线 割线 L: y=f() 切线 0 xo+△x 2021/2/20
2021/2/20 6 x y o M0 N 0 x x + x 0 T L: y = f (x) 的极限位置就是切线 当N → M0 时,割线 割线切线
(1)求区间x到x+Ax的割线斜率 k(x0,4x)= f(xo+ 4x)-f(xo) (2)割线斜率的极限是切线料率 k(x)=f(4+4x)-f(x) A->0 Ax (3)曲线L在点M0(x0,y)的切线方程 y=f(x0)+k(x0)(x-x0) 2021/2/20 7
2021/2/20 7 x f x x f x k x x ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → x f x x f x k x x ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 + − = (1) 求区间x0 到x0 + x的割线斜率 (2) 割线斜率的极限是切线斜率 ( ) ( )( ) x0 k x0 x x0 y = f + − (3) 曲 线L在 点M0 (x0 , y0 )的切线方程
二、导数定义与性质 1,导数定义:设函数y=f(x)在点x的 某邻域有定义如果极限 f(o +Ax)-f(o) Ax→>0Ax4x→>0 ∠x 存在,则称函数f在x0可导,并称此 极限值为函数f在x0的导数记作 f"(x0) df 2021/2/20 Xx=xo dxl x=. 0
2021/2/20 0 0 8 ( ), , . , , ( ) ( ) lim lim . ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx dy dx df f x f x f x x f x x f x x y y f x x = = → → + − = = 极限值为函数 在 的导数 记 作 存 在 则称函数 在 可 导 并称此 某邻域有定义如果极限 设函数 在 点 的 二、导数定义与性质 1. 导数定义：
「注意1导数的等价定义: f(o=lim f(xo+Ax)-f(o x→0 分f(x)=如f(x+h)-f(x) h 冷>f(x0)=lim f(x)-f(x0) x→>x0 0 2021/2/20
2021/2/20 9 [注意1] 导数的等价定义： h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = →
「注意2导数的意义: 导数是函数在一点的变化率 瞬时速度:v(t0)=s(1) 物理意义 线密度:p(x)=m(x) 几何意义切线斜率:A(x)=f(x) 导数f(xn)是曲线y=f(x)在点 M0(x0,f(x0)处切线的斜率 20
2021/2/20 10 ( ) ( ) 0 0 瞬时速度：v t = s t ( ) ( ) 0 0 切线斜率：k x = f x ( , ( )) . ( ) ( ) 0 0 0 0 处切线的斜率 导 数 是曲线 在 点 M x f x f x y = f x 线密度：(x) = m(x) [注意2] 导数的意义： 物理意义 几何意义 导数是函数在一点的变化率