作业 P49习题2.411.13.14 P50综合题1.4 预习:P5158 02122
2021/2/20 1 作 业 P50 综合题 1. 4. P49 习题2.4 11. 13. 14. 预习：P51—58
第四讲 连续函教的性质 连续函数的基本性质 二、初等函教的连续性 三、闭区间上连续函教的 性质 2021/2/20 2
2021/2/20 2 连续函数的性质 第四讲 一、连续函数的基本性质 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的 性质
、函数连续性的基本性质 (一)连续性定义的等价形式: 设f(x)在x的某邻域内有定义则 下列命题等价 (1) lim f(x)=f(xo) x→>x0 (2)f(x)=f(x0)+a(x) (其中lma(x)=0) x->x0 2021/2/20
2021/2/20 3 一、函数连续性的基本性质 （一）连续性定义的等价形式： 下列命题等价 设 f (x)在 x0 的某邻域内有定义,则 (1) lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → (2) ( ) ( ) ( ) f x = f x0 + x ( lim ( ) 0 ) 0 = → x x x 其中
3)∫在点x既左连续又右连续 lim f(x)=lim f()=f(xo) x→x 0 x→>x0 (4)imAf(x0)=0 Ax=x-xo, 4f(o)=f()-f(ro (二)连续函数的有界性: 若函数∫在点x连续则f在x的 某邻域上有界简称f在点x0有界) 2021/2/20 4
2021/2/20 4 , ( ) ( ) ( ) (4) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 x x x f x f x f x f x x = − = − = → （3） f 在 点x0 既左连续又右连续 lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 f x f x f x x x x x = = → − → + （二）连续函数的有界性： ( ) , 0 0 0 某邻域上有界简 称 在 点 有 界 若函数 在 点 连 续 则 在 的 f x f x f x
(三)连续函数的保号性: 若函数∫在点x连续且f(x0)≠0, 则∫在点x的某邻域上保号即 日8>0,使在(x0-6,x+δ)上 f(x)与f(x0)同号 2021/2/20
2021/2/20 5 ( ) ( ) . 0, ( , ) . , ( ) 0, 0 0 0 0 0 0 与 同 号 使 在 上 则 在 点 的某邻域上保号即 若函数 在 点 连 续 且 f x f x x x f x f x f x − + （三）连续函数的保号性：
(四)连续函数的运算性质: 若f,g都在点x0连续则 (1)对任意常数a,B,函数af+Bg也在 x连续 (2)f·g也在x连续 (3)若g(x)≠0则也在x连续 (4)若x=g()在连续f(x)在x连续 且x0=g(t),则复合函数八g()在t 连续 2021/220 6
2021/2/20 6 (2) f g 也在x0 连续 若 f , g都在点x0 连续,则 连 续 对任意常数 函 数 也 在 0 (1) , , x f + g (3) 若 ( 0 ) 0,则 也 在 x0 连 续 g f g x （四）连续函数的运算性质： . ( ), [ ( )] (4) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 连 续 且 则复合函数 在 若 在 连 续 在 连 续 x g t f g t t x g t t f x x = =
(五)关于反函数的连续性 若函数y=f(x)在闭区间a,b上严格 单调且连续则其反函数x=f-(y)在闭 区间f(a),f(b)(或[f(b),f(a))上也 严格单调且连续 (六)初等函数的连续性 结论: 初等函数在其定义区间上是连续的。 2021/2/20 7
2021/2/20 7 （六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 （五） 关于反函数的连续性 . [ ( ), ( )] ( [ ( ), ( )]) , ( ) ( ) [ , ] 1 严格单调且连续 区 间 或 上 也 单调且连续则其反函数 在 闭 若函数 在闭区间 上严格 f a f b f b f a x f y y f x a b − = = 结论：
1.基本初等函数的连续性 (1)由连续定义可验证基本初等函数: 常量函数C,sinx,ex,lnx 的连续性 例]证明imex=cx x→x0 台im(e0-1)=0 x→x 0 <> lim(e △x一 1)=0 ∠x→>0 2021/2/20 8
2021/2/20 8 1. 基本初等函数的连续性 （1）由连续定义可验证基本初等函数： 的连续性 常量函数C x e x x , sin , , ln 0 0 lim x x x x e = e → 证 明lim ( 1) 0 0 0 − = − → x x x x e lim ( 1) 0 0 − = → x x e [例]
(2)用复合函数及反函数的连续性证明 基本初等函数 x=e., cos x= sin( 2 x) arcsin x, arccos x, arctan x的连续性 (3)用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数 tan x. cot x. secx. cscw 的连续性 2021/2/20
2021/2/20 9 （3）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数: 的连续性 tan x, cot x, secx, csc x （2）用复合函数及反函数的连续性证明 基本初等函数: x x x 的连续性 x e x x x arcsin , arccos , arctan ), 2 , cos sin( l n = = −
2.初等函数的连续性 由基本初等函数的连续性运用连续 函数的四则运算、复合运算就推出所有 初等函数在其定义区间上处处连续 例:f(x)=√cosx-1是初等函数。 定义域为离散点=2n丌,n∈Z 2021/2/20
2021/2/20 10 2. 初等函数的连续性 由基本初等函数的连续性,运用连续 函数的四则运算、复合运算就推出所有 初等函数在其定义区间上处处连续. 2 , . ( ) cos 1 x n n Z f x x = = − 定义域为离散点 例 ： 是初等函数