清华大学：《微积分》课程教学资源_第七讲 导数与微分（三）

作业 P68习题3.2 13(5).14(6).15(2).16(3) P73习题3.3 4(1).5(5).7(4.9 P78习题: 5(5)(6)(8).6(3).7.8 ● 复习P60P78 2021/2/20

2021/2/20 1 作业 P68 习题3.2 13(5). 14(6). 15(2). 16(3). P73 习题3.3 4(1). 5(5). 7(4). 9. P78 习题: 5(5) (6) (8). 6(3). 7. 8. 复习P60—P78

第七讲导数与微分(三) 忌数与微分的远犷法则 (续) 二、高阶导数 2021/2/20 2

2021/2/20 2 二、高阶导数 第七讲 导数与微分(三) 一、导数与微分的运算法则 （续）

一、导数与微分运算法则 1.四则运算求导法则 2.复合函数求导法则 3反函数求导法 4隐函数求导法 5.参数方程求导法 6.对数微分法 2021/2/20

2021/2/20 3 一、导数与微分运算法则 1. 四则运算求导法则 2. 复合函数求导法则 3. 反函数求导法 4. 隐函数求导法 5. 参数方程求导法 6. 对数微分法

5.参数方程求导法 (1)参数方程 x s a cos t 「例1椭圆: t∈|0,2x bint 「例2摆线: x=a(t-sint a>0 y=a(1-cost) 2021/2/20 jla 4

2021/2/20 4 5. 参数方程求导法 (1) 参数方程 [0, 2 ] sin cos [ 1]      = = t y b t x a t 例 椭圆： , 0 (1 cos ) ( sin ) [ 2]     = − = − a y a t x a t t 例 摆线： a • 2a

X=coS°t 「例3星形线: t∈[0,2xl y=asin t 内旋轮线 隐函数方程:x3+y3=a3,a>0 2021/2/20

2021/2/20 5 [0, 2 ] sin cos [ 3] 3 3      = = t y a t x a t 例 星形线： a 内旋轮线 , 0 3 2 3 2 3 2 隐函数方程：x + y = a a 

(2)参数方程求导法 设函数y=f(x)由参数方程 x=o(t) y=y() 确定 设p(),y'(t)都存在,且q'(t)≠0, x=q(1)存在可导的反函数=g-(x) dh 如何求? 2021/2/20 6

2021/2/20 6 0 1 2 0 (2) 参数方程求导法 ? dx dy 如何求 ( ) ( ). ( ), ( ) , ( ) 0, 1 x t t x t t t − = =          存在可导的反函数 设 都存在 且 确 定 设函数 由参数方程：    = = = ( ) ( ) ( ) y t x t y f x  

分析函数关系: yu(t) x=q(t)→t=q-(x) →y通过t成为x的复合函数 y=yl (xl 利用复合函数和反函数微分法,得 ￠ddtd/x_() dx dt dx dt/ dt p'(t 2021/2/20

2021/2/20 7  y通 过t成 为x的复合函数 y = (t) 分析函数关系: ( ) ( ) 1 x t t x − =   =  [ ( )] 1 y x − =  利用复合函数和反函数微分法, 得 ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy     =  = =

x=acos t 「例求椭圆: ly=bint t∈[0,27 2 在 处的切线方程 「解] 丌b 当t=时, 元 r=acos-= =sin →切点:M 切线斜率:k=tana 2021/2/20 dx

2021/2/20 8 [0, 2 ] sin cos [ 9]      = = t y b t x a t 例 求椭圆： , 4 2 , cos 4 a t = x = a =   当 时 . 4 在 处的切线方程  t = 4 2 sin b y = b =  ) 2 , 2 : (0 a a  切 点 M [解] 4 : tan  = = = t dx dy 切线斜率 k

dy y'(t) b cost b cot t dx ' (t) -asin dv bosi b →k = dx a sin b b 切线方程:y-0=--(x-) b 即 x+√2b 2021/220

2021/2/20 9 t a b a t b t t t dx dy cot sin cos ( ) ( ) = − − =   =   a b a b dx dy k t  = = − = − = 4 4 sin cos 4     切线方程: ) 2 ( 2 a x a b b y − = − − x b a b 即 y = − + 2

6对数微分法 求幂指函数∫(x)=l(x)(x的导数 方法一:f(x)=e v(x)Inu(x) 再应用复合函数微分法(链式法则) 方法二:利用对数微分法 Unf(r=l'(r) f(x) →f∫(x)=f(x)nf(x 2021/2/20

2021/2/20 10 求幂指函数 f (x) = u(x) v( x) 的导数 ( )ln ( ) ( ) v x u x f x = e 再应用复合函数微分法（链式法则） 方法二: 利用对数微分法 方法一: ( ) ( ) [ln ( )] f x f x f x   = 6. 对数微分法  f (x) = f (x)[ln f (x)]