作业 P34习题2.1 3(2)(3) P39习题2.2 1(2)(3) 2(2)(6)(9)(13).3(1) 预习:P40-49 2021/2/20
2021/2/20 1 作业 P34习题2.1 3(2)(3). P39习题2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1) 预习：P40—49
第二讲函数极限 函数极限 二、函数极限的性质 、函数极限的运算法则 四、两个重要极限 五、无穷小量与无穷大量 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第二讲 函数极限 一、函数极限 二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则 四、两个重要极限 五、无穷小量与无穷大量
极限的重要性 (1)极限是一种思想方法 从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续 (2)极限是一种概念 微积分中许多概念是用极限定义的 (3)极限是一种计算方法 许多物理、几何量需要用极限来求 2021/2/20
2021/2/20 3 极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法 （2）极限是一种概念 （3） 极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是用极限定义的 许多物理、几何量需要用极限来求
、函数的极限 函数极限问题是研究当自变量x趋向于x 或趋向于无穷大时,函数f(x)的变化趋势 (一)自变量的变化(两种基本变化趋势) 趋向于一点 x→x0,x->x,x->x0 趋向于无穷 x→+0,x→-0,x→Q 2021/2/20
2021/2/20 4 函数极限问题是研究当自变量 一、函数的极限 x 趋向于 0 x 或趋向于无穷大时，函数 f ( x ) 的变化趋势 （ 两种基本变化趋势） x0 趋向于一点 x O (一)自变量的变化 • x • x x → x0 ， x → x0 + ， → − x x0 趋向于无穷 x → +， x → −， x →
(二)函数极限的定义 1.函数在一点的极限 定义1: 设函数f(x)在点x的某空心邻域 有定义如果当x无限趋于时,其对 应的函数值f(xf无限趋于”一个确定 的常数A,则称4是当x趋于x时,函数 f(x)的极限,记作lmf(x)=A x 或∫(x)→>A(x→>x) 2021/2/20
2021/2/20 5 f ( x ) , A A x x , f ( x ) . x x f ( x ) x 的极限 的常数 ，则称 是 当 趋 于 时 函 数 应的函数值 “无限趋于”一个确定 有定义 如果当“无限趋于”时，其对 设函数 在 点 的某空心邻域 0 0 0 lim f( x ) A x x = → 0 记作 定义1： （二）函数极限的定义 1. 函数在一点的极限 f( x ) A ( x x ) 或 → → 0
「注意l 考虑空心邻城,是什麽意思? 考虑函数在一点的极限时,不考虑函数 在该点处是否有定义,定义的值是什麽, 但是,在附近必须要有定义。 例1limx-1 lim x1x2-1x→1x+12 2021/2/20
2021/2/20 6 [注意] 考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。 [例1] ? 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 1 1 lim 1 1 lim 1 2 1 + = − − → x → x x x x 2 1 =
例21f(x) xsin-,x≠0 x=0 0.05 25 lim f()=0 x->0 0.1 0.1 d25 0.075 2021/2/20
2021/2/20 7 [例2] = = 1 , 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x lim 0 0 = → f ( x ) x
定义2:(左、右极限) ①若f(x)在(x0-8,x)内有定义当 x→>x时,f(x)无限趋于确定值4,则称A 是f(x)在x处的左极限记作imf(x)=A x→x 2若f(x)在(x0,x+δ内有定义当 x→x时,f(x)无限趋于确定值,则称A 是f(x)在x处的右极限记作Imf(x)=A x->x0 2021/2/20
2021/2/20 8 定义2： （左、右极限） 是 在 处的左极限 记 作 时 无限趋于确定值 则 称 （） 若 在 （ 内有定义当 f ( x ) x , x x , f ( x ) A, A f ( x ) x , x . 0 0 0 0 1 ) → − − 是 在 处的右极限 记 作 时 无限趋于确定值 则 称 （） 若 在 （ 内有定义当 f ( x ) x , x x , f ( x ) A, A f ( x ) x , x . 0 0 0 0 2 ) → + + f ( x ) A x x = → − 0 lim f ( x ) A x x = → + 0 lim
向题 点极限与单侧极限有廾麽关系? 例设y= arctan,研究x→0的情况 lim arctan 0 2 0.5 lim arctan x→0 lim arctan lim arctan 0 . lim arctan不存在! →0 2021/2/20
2021/2/20 9 一点极限与单侧极限有什麽关系？ [例] 设 ，研究 0的情况 1 = arctan x → x y 观察图形 2 1 lim arctan 0 = → + x x 不存在！ x x 1 lim arctan →0 -20 -10 10 20 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 1 lim arctan 0 = − → − x x x x x x 1 lim arctan 1 lim arctan 0 0 → + → − 问题：
2.函数在无穷远的极限 定义3: 设函数f(x)在区间a,+∞)有定义 若x无限变大时,f(x)无限趋于某 常数,则称当→+时,f(x)有极限4, 记作limf(x)=A x→+Q 类似的可定义limf(x)=A x→-0 或limf(x)=A 2021/2/20
2021/2/20 10 2. 函数在无穷远的极限 常数，则称当 时 有极限 ， 若 无限变大时， 无限趋于某一 设函数 在区间 有定义 x , f ( x ) A x f ( x ) f ( x ) ( a, ) → + + lim f ( x ) A x = →+ 记 作 定义3： 类似的可定义 lim f ( x ) A x = → lim f ( x ) A x = →− 或
