复习:P80-121 预习:P124133 2021/2/20
2021/2/20 1 复习：P80—121 预习: P124—133
第十二饼泰勒公式的应用 复习 二、泰勒公式应用举例 2021/2/20 2
2021/2/20 2 二、泰勒公式应用举例 第十二讲 泰勒公式的应用 一、复习
一、复习 f(x)在x点的泰勒公式 f(x)=P,(x)+r,(x) =f(x)+f(x0(x-x)f"(x(x-x)2 2 0(x-xn)”+R(x Rn(x)=(x-x0)](x→>x0) R, (x)= f(+(2 (x-x0)15介于x与x之间 (n+1)! 2021/2/20
2021/2/20 3 ( ) : f x 在 x0 点的泰勒公式 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x x x f x P x R x n n n n n + + − + − = + − + = + ( ) [( ) ] ( ) R x x x0 x x0 n n = − → x x 介 于x 与x之 间 n f R x n n n 0 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = 一、复习
注意x点的泰勒公式就用x-x)的 幂展开 f(x)=f(x0)+∫(x0)(x-x) +yx(x-xn)2+…+ X- ∫(x-x)(在x与x之间 (n+1) 0 0 ∫(x)=f(0f(0)x+J"四x2+ 21 x"+ f("+"(E) x"+(在0与x之间 2021/2/20 n (n+1)
2021/2/20 4 ( 0 ) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( ) ( 1) 2 x 在 与x之 间 n f x n f x f f x f f x n n n n + + + + + + = + + [注意] . , ( ) 0 0 幂展开 x 点的泰勒公式 就 用 x − x 的 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x 在 x 与x 之 间 n f x x n f x x x f x f x f x f x x x n n n n + + − + + − + + − + = + − x0 = 0
五个常用函数的泰勒公式(麦克劳林公式 e=1+x+x2+.xh+ n+1 (n+1)! ex=1+x+x2+…+x"+O(x") sIn= x +(-1)4-12k-1 3!5 (2k-1)! sin5+(2k+1)2,2k+1 十 (2k+1)! SInd=d 小、 5 2k-1 十 k-1 +0(X 2K 十 3!5! (2k-1)! 2021/2/20
2021/2/20 5 五个常用函数的泰勒公式（麦克劳林公式） 2 1 ! ( 1)! 1 2! 1 1 + + = + + + + + x n n x n e x n e x x 2 2 1 2 1 1 3 5 (2 1)! sin[ (2 1) ] (2 1)! ( 1) 3! 5! sin + − − + + + + − = − + − + − k k k x k k k x x x x x ( ) ! 1 2! 1 1 x 2 n n x o x n e = + x + x ++ + ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 1 1 3 5 k k k o x k x x x x x + − = − + − + − − −
cosr=l t 4 2K +2-…+(-1x 2!4! (2k) sin[5+(k+1)xt 2k+2 十 (2k+2) 2 4 coSx=1十 +(-1)42 2k+1 +0(x 2!4! (2k)! In(1+x=x +2+“+(+ n+1 +(-1) (n+1(1+5)”+1 2 x In(1+x)=x 十 +…+(-1) +0(x") 2021/2/20 23
2021/2/20 6 2 2 2 4 2 (2 2)! sin[ ( 1) ] (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 + + + + + = − + − + − k k k x k k k x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 1 2 4 2 + = − + − + − + k k k o x k x x x x n x x x x x n n 1 2 3 ( 1) 2 3 ln(1 ) − + = − + ++ − 1 1 ( 1)(1 ) ( 1) + + + + + − n n n n x ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 n n n o x n x x x + x = x − + + + − + −
(1+x)=1+a 2! a(a-1)…(a-n+1) ∴十 n! a(a-1)…(a-n) a-n-1n+1 (n+1) ala (1+x)=1+ax+ 2! a(a-1)…(a-n+1) x"+0(x") 2021/2/20 7
2021/2/20 7 1 1 2 (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 − − + + + − − + − − + + + − + = + + n n n x n n x n n x x x ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n x o x n n x x x + − − + + + − + = + +
c=-1 =1-x+x2-x+…+(-1)”x”+o(x") 1+x a √1+x=1+-x+ ∑ (2k-3)!!k x+ox 2 k=2 (2k)! a 2 1 x"+0x √1+x 1-x+∑(D4(2k-1)!!、k k=2 (2k) 2021/2/20
2021/2/20 8 1 ( 1) ( ) 1 1 2 3 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + = −1 ( ) (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 1 1 1 2 1 n n k k k x o x k k x x + − + = + + − = − 2 1 = ( ) (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 1 1 1 1 2 n n k k k x o x k k x x + − = − + − + = 2 1 = −
二、泰勒公式应用举例 v局部应用皮亚诺型余项 求未定型极限 确定无穷小量的阶 区间应用拉格朗日型余项 近似计算:近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质 2021/220
2021/2/20 9 求未定型极限 确定无穷小量的阶 二、泰勒公式应用举例 近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质 ▼ 局部应用 ▼ 区间应用 皮亚诺型余项 拉格朗日型余项
(-)近似公式弃去余项,得近似公式 f(x)≈∫(x)+f(x0)(x-x)+ x一J 2! n n ∴ - n 当x。=0时,有 f(x)≈f(0)+f(0)x+ f"(0)2,,f(0) x-+…十 2 当/(+(x)<M时两个公式的误差分别为 M M R(x)<,… n+1 (n+1):1-x0和R(x)< (n+1) 2021/2/20
2021/2/20 10 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − + − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − 当 x0 = 0时,有 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + + + 当 f (n+1) (x) M 时,两个公式的误差分别为 1 1 0 ( 1)! ( ) ( 1)! ( ) + + + − + n n n n x n M x x R x n M R x 和 （一）近似公式 弃去余项，得近似公式