对坐标的曲线积分 B 、问题的提出 MMn-I 实例:变力沿曲线所作的功 L:A→B, 4 F(,y=P(x, y)i+o(x,vj0 常力所作的功W=F.AB 分割A=M0,M1(x1,y1),…,Mn1(xn1,yn1,Mn=B. M;=1M1=(△x)i+(4y)j
实例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 o x y A B L M1 M2 Mi−1 MiMn−1 xi i y 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB. 对坐标的曲线积分 一、问题的提出
取F(5,m)=P(5,m)+(5,m),算 F(5,m) △W1≈F(5,mn)·M1M1, △ 即△形2≈P(51,Ax2+Q(5,n;)4yL4 求和W=∑&W 近似值 ∑P(5,m),Ax+Q5,m),△yl 取极限W=m∑P(5,m)Ax+Q(5,m)4y 精确值
F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y 求和 = = n i W Wi 1[ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 近似值 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 精确值
对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xo面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧函数P(x,y),Q(x,y)在L 上有界,用L上的点M1(x1,y1),M2(x2,y2 ,Mn1(xn1,yn-1)把L分成n个有向小弧段 Mo=A,M,=B). 设Ax;=x2-x1,4y1=y2-y11,点(2;n)为 M1M1上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时
二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有 → = − = − = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B
∑P(5,m)Ax的极限存在,则称此极限为函 i=1 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 ∫P(x,n)dx=im∑P(5,m△x 类似地定义「Q(x,y)=lm∑Q5,m)A ->0 其中P(x,y),Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段 2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在
( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = = → = 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y = → 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. 2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L
3组合形式「P(x,y)x+Q(x,y) =,P(x,y)x+Q(x,y)冲=F·ds 其中F=P+c,d=di+4!y 4推广空间有向曲线弧r「P2+Q+Rh 「P(x,)=im∑P(5,mn,)△x 「(xn,)=m∑(5,n,5)Ay R(x,P,z)=lm∑R(3,n,)△x 入→>0 I=」
3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . = L F ds F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + 4.推广 空间有向曲线弧 . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 a+Q=P+Q+nP+g小 (2)设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 P(x,y)dx+@(x,y)dy=-JP(, D)dx+2(x,y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
三、对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y,Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续,L的参数方程为x=0(当参数单调地由变 y=y() 到付时,点M(x,y)从L的起点4沿L运动到终点B, q(t),v(t)在以a及为端点的闭区间上具有阶连 续导数且q2()+y(t)≠0,则曲线积分 P(x,y)dx+Q(x,y)小存在, 且P(xy)+(x,y {P10(,")p(t)+p(),()业y(切)hr
三、对坐标的曲线积分的计算 定理 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 + + = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) = + + 且
一代、二换、三定限 曲线积分化成参变量的定积分 代将L的参数方程代入被积函数 W dx=x(tdt, dy=y(tdt 定限下限—起点参数值 上限终点参数值
一代、二换、三定限 曲线积分化成参变量的定积分 代 将 L 的参数方程代入被积函数 换 dx = x(t)dt,dy = y(t)dt 定限 下限——起点参数值 上限——终点参数值
特殊情形 1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b 则Pdx+Q=「{Px,y(x)+Q|x,y(x)y(x)k (2)L:x=x(y)J起点为c,终点为d 则「PQ=「{Px(,yx(y)+x(y),yh x=o(t) (3)推广F:y=v(),点a终点B z=(t)
特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = + (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + = + , , . ( ) ( ) ( ) (3) : 推广 t起点 终点 z t y t x t = = =
「Pd+g+Rkz ∫P1p(,v(),o()p() +Qφ(t),y(t),o()y(t) +Rφ(t,y(t),(t)lo(t (4)两类曲线积分之间的联系 设有向平面曲线弧为L x=o(t) y=y(t) L上点(x,y)处的切线向量的方向角为ax,B, 则Pd+小-(Psa+sp)a
R t t t t dt Q t t t t P t t t t Pdx Qdy Rdz [ ( ), ( ), ( )] ( )} [ ( ), ( ), ( )] ( ) { [ ( ), ( ), ( )] ( ) + + = + + (4) 两类曲线积分之间的联系： , ( ) ( ) = = y t x t L 设有向平面曲线弧为 ： L上点(x, y)处的切线向量的方向角为, , + = + L L 则 Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds