几种特殊类型函教的积分 、有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x)aox"+ax"+.+anx+a e(x)box"+b,"+.+ bm-x+ b 其中m、n都是非负整数;a,a1,…,an及 b,b1,…,bn都是实数,并且a0≠0,b0≠0
几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数； n a ,a , ,a 0 1 及 m b ,b , ,b 0 1 都是实数，并且 0 a0 ， 0 b0
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m,这有理函数是真分式; (2)n≥m,这有理函数是假分式; 利用多项式除法,假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和 x3+x+1 例 X十 x2+1 难点将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 A1 A x-a)(x-)k1+…+k 十 其中A1,A2,…,A4都是常数 特殊地:k=1,分解后为; -a
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
注关于部分分式分解 如对 进行分解时 X-a 十 x-a (x-a){+…+4k x-l 项也不能少,因为通分后分子上是x的(k-1)次 多项式,可得到k个方程,定出k个系数,否则将 会得到矛盾的结果。 例如 AB C 十 x2(x+1)x'x2x+1
注 关于部分分式分解 如对 k (x a) 1 − 进行分解时 = − k (x a) 1 , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 一项也不能少，因为通分后分子上是 x的(k − 1)次 多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将 会得到矛盾的结果。 例如 ( 1) 1 1 2 2 + = + + + x C x B x A x x
→Ax(x+1)+B(x+1)+Cx2=1 A+C=0 →〈A+B=0→{B=1 B=1 C A B 但若2 x2(x+1)x2x+1 →A(x+1)+Bx2=1 →A=0,=1矛盾
( 1) ( 1) 1 2 Ax x + + B x + + Cx = = + = + = 1 00 BA B A C === − 111 CBA 但若 ( 1) 1 1 2 2 + = + + x B xA x x( 1) 1 2 A x + + Bx = A = 0,A = 1 矛盾
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 MIx+N (+22x+N M Mx+N 十∴十 k (x px+q k 2 t px t q x t pxt q 其中M2,N都是常数(i=1,2,…,k) Mr+ N 特殊地:k=1,分解后为_2 x t px t q
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法 x+3 x+3 例1 x2-5x+6(x-2)(x-3)x-2x-3 x+3=4(x-3)+B(x-2), x+3=(A+B)x-(34+2B), 1-(34+2B)=3,/4=-5 A+B=1, B=6 x+3 5 6 x2-5x+6x-2x-3
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
B 例2 十 rlx l=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1)→C=-1 x(x-1)2x(x-1)
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
A Bx+c 例3 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2 l=A(1+x)+(Bx+C(l+2x), 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, B+2C=0,→ 2-525 5 A+C=1 x 5十 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得
例4求积分 rlr 解 xx x(x-1)2x-1 =∫+∫ lnx一 1x ln(x-1)+C
例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解