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同济大学:《高等数学》课程电子教案(PPT课件讲稿)第十二章 全微分方程(12.12)高阶线性微分方程

高阶线性微分方程 一、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构:
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高阶线性微分方程 么2+P(x)+(x)=f(x)二阶线性微分方程 当f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当f(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y+P(x)ym+…+P1(x)y+P(x)y=f(x) 特点未知函数及其各阶导数都是一次幂

( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 二阶线性微分方程 当 f (x) = 0时, 二阶线性齐次微分方程 当 f (x)  0时, 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P x y P x y f x n n n n + + + −  + = −  特点 未知函数及其各阶导数都是一次幂 高阶线性微分方程

本节只讨论二阶线性微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=∫( 所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形 线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y"+P(x)y3+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解,那末y=C11+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) 问题:y=C+C22定是通解吗?

本节只讨论二阶线性微分方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) 所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形 一、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 定 理 1 如果函数 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.( 1 2 C , C 是常 数 ) 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗?

定义:设y1,y2,…,yn为定义在区间/内的n个 函数.如果存在n个不全为零的常数,使得当x 在该区间内有恒等式成立 k1y1+k2y2+…+knyn=0, 那么称这n个函数在区间/内线性相关.否则称 线性无关 例如当x∈(-∞,+∞)时,e,e,e2线性无关 l,c0s2x,sin2x线性相关

定义:设 n y , y , , y 1 2  为定义在区间I内的n个 函数.如果存在n个不全为零的常数,使得当x 在该区间内有恒等式成立 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn = 0, 那么称这n个函数在区间I内线性相关.否则称 线性无关 例如 当 x (−, + )时, x x x e e e 2 , ,− 线性无关 x x 2 2 1,cos , sin 线性相关

特别地:若在1上有川(x)≠常数, 则函数y1(x)与y2(x)在I上线性无关 定理2:如果y1(x)与y2(x)是方程1)的两个线性 无关的特解,那么y=C1y1+C2y2就是方程1)的 通解 例如y"+y=0,y1=c0Sx,y2=sinx, 且y=tanx≠常数,y=G;cosx+C2sinx

若在 I 上有  常数, ( ) ( ) 2 1 y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在 I 上线性无关. 定理 2:如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的 通 解. 例如 y + y = 0, cos , sin , y1 = x y2 = x tan , 1 且 2 = x  常数 y y cos sin . y = C1 x + C2 x 特别地:

2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的一个特解,Y是与(2对应的齐次方程(1)的通 解,那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程(2 的通解

2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y  + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解. 非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解

定理4设非齐次方程(2)的右端∫(x)是几个函 数之和,如y"+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y"+P(x)+o(x)y=f(x) y+P(x)y+o(x)y=f2() 的特解,那么y+y2就是原方程的特解 解的叠加原理

定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y  + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y  + P x y + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) y  + P x y + Q x y = f 2 x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理

定理5若y=y1+ⅳ2是 y+P(x)y+o()y=f(x)+if2(x) 的特解则 y是y"+P(x)+Q(x)y=f(x)特解 y2是y"+P(x)y+Q(x)y=f2(x)特解 即特解的实部是实部方程的特解 特解的虚部是虚部方程的特解

若y * = y1 * + jy2 *是 ( ) ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 1 x + jf2 x 的特解 则 y1 *是y  + P(x) y + Q(x) y = f1 (x)的特解 y2 *是y  + P(x) y + Q(x) y = f2 (x)的特解 即 特解的实部是实部方程的特解 特解的虚部是虚部方程的特解 定理5

降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解 降阶法 设v是方程(1)的一个非零特解, 令y2=u(x)y1代入(1)式,得 y"+(2y+P(x)y1+(y1+P(x)y1+Q(x)y1)u=0 即y;u"+(2y1+P(x)y,)u’=0,令v=u, 则有y;v'+(2y1+P(x)y1)=0

二、降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 设y1是方程(1)的一个非零特解, 2 1 令 y = u(x) y 代入(1)式, 得 (2 ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0, y1u  + y1  + P x y1 u + y1 + P x y1  + Q x y1 u = (2 ( ) ) 0, 即 y1u + y1  + P x y1 u = 令v = u , 则有 (2 ( ) ) 0, y1 v + y1  + P x y1 v =

yy+(2y1+P(x)yv=0w的一阶方程 7降阶法 解得r=1e小 P(x)de P(x)dx L P(x)dx 齐次方程通解为 LiouⅤie公式 P(x)de y=C1v1+Civil e y1

y1 v + (2 y1  + P(x) y1 )v = 0 v 的一阶方程 降阶法 解得 , 1 ( ) 2 1  = − P x dx e y v e dx y u P x dx   = −  ( ) 2 1 1 , 1 ( ) 2 1 2 1 e dx y y y P x dx   = −  齐次方程通解为 Liouville公式 . 1 ( ) 2 1 1 1 2 1 e dx y y C y C y P x d x  −  = +

2.非齐次线性方程通解求法常数变易法 设对应齐次方程通解为y=C1y1+C22(3) 设非齐次方程通解为y=c1(x)y1+c2(x)y2 y=c(x)y+c2(x)y2+G(x)y1+c2(x)y2 设c1(x)y1+c2(x)y2=0 1(x)y+c2(x)y2+c1(x)y1+c2(x)y

2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法 设对应齐次方程通解为 1 1 2 2 y = C y + C y (3) 设非齐次方程通解为 1 1 2 2 y = c (x) y + c (x) y 1 1 2 2 1 1 2 2 y = c(x) y + c(x) y + c (x) y + c (x) y 设 c1 (x) y1 + c2 (x) y2 = 0 (4) 1 1 2 2 1 1 2 2 y  = c(x) y + c(x) y + c (x) y + c (x) y 

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