分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上,得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法分部 积分法,它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
、基本内容 问题∫xe= 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数u=(x)和v=v(x)具有连续导数, (uv)=u'v+uv, uv=uv)-u'v Jmy=m-Jnhn,∫aoh=m-j 分部积分公式
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
注分部积分公式的特点:等式两边LP互换位置 分部积分公式的作用:当左边的积分∫4dh 不易求得,而右边的积分jwm容易求得 利用分部积分公式—化难为易 例1求积分xc0sx 解(一)令u=cosx,xx=dx2=h xcos xdx =coSx+I-sinxdx 2 显然,L,v选择不当,积分更难进行
注分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置 分部积分公式的作用：当左边的积分 udv 不易求得，而右边的积分 vdu 容易求得 利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然，u,v选择不当，积分更难进行
解(二)令u=x,c0sxb= d sinx=bhv xcos x=xdsinx=xsinx- sin xx =sinx+cosx +C 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,y 般来说,L,ν选取的原则是 (1)积分容易者选为v (2)求导简单者选为u 分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分 之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分
解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： （1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分
例2求积分x2ex 解=x2,e=de=lv, x edx=xet xe a (再次使用分部积分法)l=x,e=b x'e-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3求积分 arctan xd 2 解令u= arctan,xdhc=dx=bh 2 ∫ x arctan xdx=; arctan-「,a d(arctan) 2 2 arctan 2 21+x 2 =-arctanx Ddx 2 2 2arctanx-2x-arctanx)+c
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
例4求积分x3 In xdx 解u=nx,xbk=dx=v, x'Inxdx=xtlnx-x'dx =xnx x4+C. 16 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函 数或反三角函数为这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个:容易积分
若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。 u 例4 求积分 ln . 3 x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d = x ln xdx 3 = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结
例5求积分 isin( x)do 解∫sim(mx)dk=xsm(mx)xin(mx月 =xsin(inX xcos(inx xsin(In x)xcos(In x)+xd[cos(In x) =nIsin(inx)-cos(Inx )I-sin(nx)dx jsin(n x)dx=, Isin(n x)-cos(n x)1+C 2 注:本题也可令t=lmx 分部积分过程中出现循环,实质上是得到待求积分 的代数方程,移项即可求得所求积分。注意最后 定要加上积分常数C
例5 求积分 sin(ln ) . x dx 解 sin(ln x)dx = − xsin(ln x) xd[sin(ln x)] = − dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = − + xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − − x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − + 注：本题也可令 t = ln x 分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C
例6求积分 e sin o 解∫ e sin xd- since =e sinx=e d(sin x) =e sin e cos raxx=e sinx corde e- sinx(e cosx=edcos x) =e(sinx-c0sx)-」 e sin xdx注意循环形式 Je" xdx=,(sin x-cos x)+C
例6 求积分 sin . e xdx x 解 e xdx x sin = x sin xde = − e sin x e d(sin x) x x = − e x e xdx x x sin cos = − x x e sin x cos xde = − − e sin x (e cos x e d cos x) x x x = − − e x x e xdx x x (sin cos ) sin e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
7 xdx 例解 sec car secxd tanx secxtanx- tan xsecxdx secxtanx+ secxdx-secxd secx tanx+In(secx+ tanx)sec'xdx =sec'xdr=secx tanx+In(secx+tanx)+C 2 例8|sin"xdc(n∈N
例 7 xdx 3 sec 解 xdx 3 sec = sec xd tan x x x x xdx = sec tan − tan sec 2 = x x + xdx − xdx 3 sec tan sec sec = x x + x + x − xdx 3 sec tan ln(sec tan ) sec xdx = x x + x + x + C ln(sec tan ) 21 sec tan 21 sec3 例 8 sin xdx (n N) n