作业 P112习题43 4(2)(4).5(4).7.8(3).9(2)10 复习:P96111 预习:P113-121 2021/2/20
2021/2/20 1 复习：P96—111 预习：P113—121 P112 习题4.3 4(2)(4). 5(4). 7. 8(3). 9(2).10. 作 业
第十讲极值与凸性 极值与最值 二、函数的凸性 三、曲线的渐近线 四、函数作图 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第十讲 极值与凸性 一、极值与最值 二、函数的凸性 三、曲线的渐近线 四、函数作图
、极值与最值 (-)极值的第一充分条件 定理1:设函数f在点x0的某邻域内有一阶 导数,且f在x两侧异号则∫在x取得极值 (1)若彐δ>0,使在(x0-8,x0)内f(x)≤0, 而在(x02x0+δf(x)≥0,则∫在x取得 极小值; (2)若>0,使在(x0-8,x0)内f(x)≥0, 而在(x0,x0+6肭f(x)≤0,则∫在x取得 极大值;
2021/2/20 3 , , . 0 0 0 导 数 且 在 两侧异号则 在 取得极值 设函数 在 点 的某邻域内有一阶 f x f x f x （一）极值的第一充分条件 定理1： ; ( , ) ( ) 0, (1) 0, ( , ) ( ) 0, 0 0 0 0 0 极小值 而 在 内 则 在 取 得 若 使 在 内 x x f x f x x x f x + − ; ( , ) ( ) 0, (2) 0, ( , ) ( ) 0, 0 0 0 0 0 极大值 而 在 内 则 在 取 得 若 使 在 内 x x f x f x x x f x + − 一、极值与最值
[证E](1) 若彐δ>0,使在(x0-8,x0内f(x)≤0 →在(x0-8,x0)内,f(x)↓ 今Vx∈(x0-0,x0),f(x)≥f(x0) 又彐δ>0,使在(x0,x0+δ)内f(x)≥0 →在(x0,x+δ)内,f(x)个 →Vx∈(x0,x0+O),f(x)≥f(x0) 2即,∫在x取得极小值
2021/2/20 4 [证] (1) 若 0,使 在(x0 − , x0 )内f (x) 0 在(x0 − , x0 )内, f (x) ( , ), ( ) ( ) 0 0 x0 x x − x f x f 又 0,使 在(x0 , x0 + )内f (x) 0 在(x0 , x0 + )内, f (x) ( , ), ( ) ( ) 0 0 x0 x x x + f x f , . 即 f 在x0 取得极小值
(二)极值的第二充分条件 定理2:设函数∫在点x0的某邻域内有一阶 导数,且f(x0)=0,又f"(x0)存在 (1)若f"(x)>0,则∫在x取得极小值; (2)若f"(x0)0 根据二阶导数定义有 ∫"(x0)=lin f(x)-f(x0) 0/lim >0 x→0 x→>x0X-y 2021/2/20 0
2021/2/20 5 (1) ( ) 0, ; 若f x0 则 f 在x0 取得极小值 （二）极值的第二充分条件 定理2： , ( ) 0, ( ) . 0 0 0 导 数 且 又 存 在 设函数 在 点 的某邻域内有一阶 f x f x f x = (2) ( ) 0, . 若f x0 则 f 在x0 取得极大值 [证] (1) f (x0 ) = 0, f (x0 ) 0 根据二阶导数定义,有 0 ( ) lim 0 0 − → x x f x x x = − − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x
由极限性质彐δ>0,使在(xo-8,x0+δ) 中有 f(x) >0 r-d 0 在(x o)内有f(x)0 根据定理知,∫在x0取得极小值 2021/2/20
2021/2/20 6 中 有 由极限性质, 0,使 在( , ) x0 − x0 + 0 ( ) 0 − x x f x 在(x0 − , x0 )内,有 f (x) 0 在(x0 , x0 + )内,有 f (x) 0 1 , . 根据定理 知 f 在x0 取得极小值
「例求f(x)=(x-1)x2的极值 解]先求可能的极值点驻点和不可导点 f(x=Vx2+(x 5x-2 3 33 令∫(x)=0,得驻点x=2 5 又,x=0为导数不存在的点故有两个 可能的极值点:x=0,x=22. 2021/220
2021/2/20 7 [ 1] ( ) ( 1) . 例 求 f x = x − 3 x 2 的极值 先求可能的极值点(驻点和不可导点) 3 3 1 3 2 3 5 2 3 2 ( ) ( 1) x x f x x x x − = + − = − 5 令 f (x) = 0, 得驻点 x = 2 . 5 0, 2 , 0 . = = = x x x 可能的极值点： 又 为导数不存在的点故有两个 [解]
x(-∞,0)0(0, (=∞) 5155 f(r) 5x-2+不存在 0+ 33/x f(x 极大值 极小值 0 320 ∫(0)=0极大值;f(2)=~°√20,极小值 2021/2/20 5 25
2021/2/20 8 x (− , 0 ) 0 ) 52 ( 0 , 52 , ) 52 ( + f ( x) + 不存在 − 0 + 0 极大值 极小值3 20 25− 3 f (0) = 0 ,极大值; 20,极小值 253 ) 52 ( − 3 f = ) 35 2 ( ( ) 3 x x f x− 11
「例2求y=x3+9a-x)3的极值 [解](求可能的极值点驻点和不可导点 求导函数f(x)=3x2-27(a-x)2 令f(x)=0,得驻点:x1=,x2=2a 没有不可导点 (2)判断驻点是否为极值后 y=6x+54(-x)=6(9a-8x) 当a>0时, 3 3 y"Ca)=18a>0,y"Ca)=-18a<0 2021/220 2
2021/2/20 9 [例2] 求y = x 3 + 9(a − x) 3 的极值 (1)求可能的极值点(驻点和不可导点) 2 2 求导函数 f (x) = 3x − 27(a − x) 令 f (x) = 0, (2)判断驻点是否为极值点 没有不可导点. x a x a 2 3 , 4 3 得驻点： 1 = 2 = y = 6x + 54(a − x) = 6(9a − 8x) ) 18 0, 4 3 y( a = a 当a 0时, ) 18 0 2 3 y( a = − a [解]
3 故当x=,a时,y有极小值 极小值为p=a3 3 16 当x=a时,y有极大值 2 极大值为p 同理可求得当a<0时 y的极大值为y(a)=a3 16 3 y的极小值为y(a) 2021/2/20
2021/2/20 10 故 当x a时, y有极小值 4 3 = 3 16 9 极小值为 y = a 当x a时, y有极大值 2 3 = 3 4 9 极大值为 y = a 同理可求得,当a 0时 3 3 4 9 ) 2 3 ( 16 9 ) 4 3 ( y y a a y y a a = = 的极小值为 的极大值为