可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其 求解方法,但是能用初等解法求解的方程为数腥 当有限,特别是高阶方程,除去一些特殊情况可 用降阶法求解,一般都没有初等解法, 本节介绍几种特殊的高阶方程,它们的共 同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶 的方程来求解
本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共 同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶 的方程来求解。 可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其 求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥 当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可 用降阶法求解，一般都没有初等解法
以二阶方程 F(x,y,y,y")=0为例展开讨论 重点讨论能将二阶导数解出的情况 y"=∫(x,y,y) 如果我们设法作变量代换把它从二阶降 至一阶,就有可能应用前节中所介绍的方法 来求解
以二阶方程 F(x, y, y , y) = 0 为例展开讨论 重点讨论能将二阶导数解出的情况 y = f (x, y, y) 如果我们设法作变量代换把它从二阶降 至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法 来求解
y=∫(x)型 特点:右端不含y,y仅是x的函数 解法:将y作为新的未知函数降阶 令z=y→y"=z有 z'=∫(x)变量可分离的一阶方程 积分z=|f(x)+cr 即y2=]f(x)+c1 再积分y=f(x)xx+c1x+C2
一、 y = f (x) 型 特点： 右端不含 y, y 仅是 x 的函数 解法： 将 y 作为新的未知函数 降阶 令 z = y y = z 有 z = f (x) 变量可分离的一阶方程 积分 = + 1 z f (x)dx c 即 = + 1 y f (x)dx c 再积分 = + 1 + 2 y [ f (x)dx]dx c x c
同理对n阶方程p=f(x) (n-1) 积分得y ∫(x)dx+ 如此连续积分n次即得原方程的 含有n个任意常数的通解 般情况y)=f( (k) 特点:不显含未知函数y及y,…,y1) 解法:令y6)=z
同理 对 n 阶方程 ( ) ( ) y f x n = 令 ( −1) = n z y z = f (x) 积分得 = + − 1 ( 1) y f (x)dx c n 如此连续积分n 次即得原方程的 含有n个任意常数的通解 一般情况 ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n y f x y y 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y 解法： y z k = 令 ( )
则y+)= (n)=>(n-k) z的(n-k阶方程 =f(x …,花(n-k-1 求得z,将y(k)=z连续积分k次 可得通解 例 y=sin x 解 coS x+ Cl y =-sinx+ crtc y =cOS x+cx +c2x+ c3 2 y=sIn x+=cux +c2x tc3x +C4
, . (k 1) (n) (n k ) y z y z + − 则 = = ( , , , ). ( − ) ( − −1) = n k n k z f x z z z 的(n-k)阶方程 求得 z, , 将 y (k ) = z 连续积分k次 可得通解. 例1 y sin x (4) = 解 1 y = −cos x + c 1 2 y = −sin x + c x + c 2 3 2 1 2 1 y = cos x + c x + c x + c 3 4 2 2 3 1 2 1 6 1 y = sin x + c x + c x + c x + c
例2求方程x-y4=0的通解 解设y=P(x) (5) P(x 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得P=Cx即y=C1x, 两端积分得y"=C1x2+C2, 2 x+-2x+°x+CAx+ 120 5 原方程通解为y=l1x3+2x3+d3x2+dx+d
例 2 0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x ( ) (5) y = P x 代入原方程 xP − P = 0, （P 0） 解线性方程, 得 P = C1 x , 1 (4) 即 y = C x 两端积分,得 , 2 1 2 2 y = C1 x + C , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 原方程通解为 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d
y"=f(x,y)型 特点:右端不含y 解法:降阶 令y=p→y”=p代入原方程得 ds∫(x,p)若已求得其通解为 =(x,c1)回代y=P得 dt9(x,c1)变量可分离的一阶方程 积分得y=」(x,c)+c2
二、 y = f (x, y) 型 特点： 右端不含 y 解法： 降阶 令 y = p y = p 代入原方程得 f (x, p) dx dp = 若已求得其通解为 ( , ) 1 p = x c 回代 y = p 得 ( , ) 1 x c dx dy = 变量可分离的一阶方程 积分得 = 1 + 2 y (x,c )dx c
例3解方程1+x2)y”=2xy,yk=0=1,yk0=3 解令 →(+x)p=2xp 分离变量得42x 1+x →Inp=In(1+x2)+lnc1 P=c1(1+x2 )→y=c1(1+x2) 由yx=0=3得c1=3 →y=3(+x2)→y=x+3x+ 由 故y=x+3x+1
例3 解方程 (1 ) 2 , 0 1, 0 3 2 + x y = xy y x= = y x= = 解 令 y = p (1 x ) p 2xp 2 + = 分离变量得 2 1 2 x x p dp + = 1 2 ln p = ln(1+ x ) + lnc 即 (1 ) 2 1 p = c + x (1 ) 2 1 y = c + x 由 y x=0= 3得 c1 = 3 3(1 ) 2 y = + x 2 3 y = x + 3x + c 由 y x=0= 1 c2 = 1 故 3 1 3 y = x + x +
例4解方程y=1+(y)2 解 少y=p→y=p→ l=1+p → arctan p=x+C 即p=tan(x+c1) →y=tan(x+c1)x =-ln cos(x+Cu+C2
解方程 2 y = 1+ ( y) 解 令y = p y = p 2 1 p dx dp = + dx p dp = + 2 1 1 arctan p = x + c 即 tan( ) 1 p = x + c y = tan(x + c1 )dx1 2 = −lncos( x + c ) + c 例4
型 特点: 右端不含x 解法: 降阶 → 由复合函数求导法则得 ψpφp dx dy dx dy 代入原方程得 p,=f(,p) 中y 这是一个关于y,p的一阶方程
三、 y = f ( y, y) 型 特点： 右端不含 x 解法： 降阶 令 p dx dy y = = dx dp y = 由复合函数求导法则得 dx dy dy dp dx dp y = = dy dp = p 代入原方程得 f ( y, p) dy dp p = 这是一个关于 y ，p 的一阶方程
