第一章几何空间中的向量 第三节空间坐标系 仿射坐标系 空间直角坐标系 向量运算的坐标表示 向量在轴上的投影
第一章 几何空间中的向量 第三节 空间坐标系 • 仿射坐标系 • 空间直角坐标系 • 向量运算的坐标表示 • 向量在轴上的投影
13空间坐标系 仿射坐标系 定理1-5在空间内任取三个不共面的向量a1,a2,a3, 那么对空间内任一向量a,都存在唯一的三个实数x1, 293 使得 a= ,a1t r,0+x,03 证明:略(也可仿照上一节推论1-2) 注:1.三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。 2.对于选定的三个不共面的向量,没有要求它 们一定互相垂直
1.3 空间坐标系 一、 仿射坐标系 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 2 3 , , 1 5 , , , x x x x x x = + + − ，使得 那么对空间内任一向量 ，都存在唯一的三个实数 定理 在空间内任取三个不共面的向量 证明：略（也可仿照上一节推论1-2） 注：1. 三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。 2. 对于选定的三个不共面的向量，没有要求它 们一定互相垂直
定义19在空间取定一点O及三个有次序的不共面 向量e1,2,e3就构成了空间的仿射坐标系 ( affine coordinate system),记作{O;t1,e2,3} 称点O为原点,称e1,e2,e2为基或基本向量 它们所在的直线分别称为x轴、y轴、z轴 注:取定仿射坐标系后,几何空间的向量与3元有 序组是一一对应的。 a=(x,y,z)称为向量的坐标表示
定义1-9 . , , ( ), { ; , , } , , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 它们所在的直线分别称为 轴、 轴、 轴 称点 为原点，称 为基或基本向量 记作 向量 ，就构成了空间的仿射坐标系 在空间取定一点 及三个有次序的不共面 x y z O e e e affine coordinate system O e e e e e e O 注：取定仿射坐标系后，几何空间的向量与3元有 序组是一一对应的。 = (x, y,z) 称为向量的坐标表示
定义1-10取仿射坐标系O;e1,e2,e3},对于空间的一 点M,向量OM称为点M的向径( radius vector),向径在坐标系下的坐标称为点M在 该坐标系下的仿射坐标( affine coordinate 若OM=(x,y,z),则记M的坐标为M(x,y,z) 注 1)在仿射坐标系下,点的坐标依赖于坐标原点O的 位置,而向量的坐标与原点O的位置无关。 2)3个坐标轴Ox,Oy,O决定了3个坐标平面xOy, yOz,zOx,称为坐标平面;坐标平面将空间分 成8个部分,称为8个卦限( octant)
定义1-10 ( , , ), ( , , ). ( ). , { ; , , } 1 2 3 OM x y z M M x y z affine coordinate vector M M OM M radius O e e e 若 则记 的坐标为 该坐标系下的仿射坐标 ）向径在坐标系下的坐标称为点 在 点 ，向量 称为点 的向径（ 取仿射坐标系 ，对于空间的一 = 注： 1) 在仿射坐标系下，点的坐标依赖于坐标原点O 的 位置，而向量的坐标与原点O 的位置无关。 2) 3个坐标轴Ox，Oy，Oz决定了3个坐标平面xOy， yOz，zOx，称为坐标平面；坐标平面将空间分 成8个部分，称为8个卦限( octant )
点的坐标的符号规定 卦限 坐标 ⅡⅢⅣV|ⅥⅦ|Ⅷ |+ + |+ +|++
卦限 坐标 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ x ＋ － － ＋ ＋ － － ＋ y ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － z ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － 点的坐标的符号规定
关于坐标系的方向,通常采用右手仿射坐标系, 简称右手系( right-handed system 食指 拇指 食指 中指 中指 拇指 右手系 左手系
关于坐标系的方向，通常采用右手仿射坐标系， 简称右手系( right-handed system). 右手系 x 拇指 y 食指 z 中指 O 1 e 2 e 3 e x 拇指 y 食指 z 中指 O 1 e 2 e 3 e 左手系
二、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系 z竖轴 即以右手握住x轴, 当右手的四个手指 从正向x轴以。角 定点O y纵轴 2 度转向正向y轴 横轴x 时,大拇指的指向 空间直角坐标系 就是轴的正向
横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系. 即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指 从正向x 轴以 2 角 度转向正向y 轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 二、 空间直角坐标系
zor 面 J0z面 Ⅱ xoy面 Ⅵ 空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
空间的点<>有序数组(x,y,x) 特殊点的表示:坐标轴上的点P,C,R, 坐标面上的点A,B,C,O(0,0,0) R(0,0,x B(0,y,z) x,0.2 1(2 3, 2) Q(0,y,0) x∠P(x,0,0) A(x,y,0)
空间的点 ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 1−−1 特殊点的表示: O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C
空间上两点间距离公式 设M1(x1,y1,x1)、M2(x2,y2,2)为空间两点 R d=MM 142 M 2在直角△M1NM2 Q 及直角△M1PN P 中,使用勾般定 理知 2 d2=MP++PN"+NM 29
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 空间上两点间距离公式