吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第四章 线性方程组（4.3）线性方程组的解的结构

第四章线性方程纽 §4.3线性方程组的解的结构 上一节,我们学习了: 1.线性方程组有解的条件 2.解线性方程组的Gaus消元法和主元消元法 这一节,我们将进一步讨论线性方程组的解的结构 注意:在上一节我们得到的都是参量形式的解,在本节 我们将把线性方程组的解都写成列向量的形式, 这便于讨论方程组的解的结构 下一页

第四章 线性方程组 §4.3 线性方程组的解的结构 上一节, 我们学习了: 1. 线性方程组有解的条件 2. 解线性方程组的Gauss消元法和主元消元法 这一节，我们将进一步讨论线性方程组的解的结构． 注意：在上一节我们得到的都是参量形式的解，在本节 我们将把线性方程组的解都写成列向量的形式， 这便于讨论方程组的解的结构. 下一页

首先考虑齐次(即常数项为0)线性方程组:AX=0 命题3.1齐次线性方程组AX=0只有零解当且仅当 A是列满秩矩阵 证明:AX=0只有零解>A的列向量线性无关 →A是列满秩矩阵 推论3.1当A是一个n阶矩阵时,线性方程组AX=0 有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0. 命题3.2AX=0的有限个解的线性组合仍为AX=0的解 上页下 圆回

首先考虑齐次(即常数项为0)线性方程组: AX=0. 命题3.1 齐次线性方程组 AX=0 只有零解当且仅当 A 是列满秩矩阵. 证明：AX=0只有零解 A的列向量线性无关 A是列满秩矩阵 ⇔ ⇔ 推论3.1 当A是一个 n 阶矩阵时, 线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是系数行列式等于 0. 命题3.2 AX=0的有限个解的线性组合仍为AX=0的解

齐次线性方程组的解向量的集合称为解空间.解空间的 个极大无关组称为齐次线性方程组的一个基础解系 可见:线性方程组AX=0的每个解都能用基础解系线性 表示,并且基础解系的线性组合都是AX=0的解 所以,求AX=0的解,只需求它的一个基础解系. 个线性方程组的基础解系含有多少个解向量呢? 下面的定理回答了这个问题 定理3.1设AX=0是n元齐次线性方程组.若秩A=r 则AⅨX=0的一个基础解系恰为n个线性无关的解向量. 上页下 圆回

齐次线性方程组的解向量的集合称为解空间. 解空间的 一个极大无关组称为齐次线性方程组的一个基础解系. 所以，求AX=0的解，只需求它的一个基础解系. 可见：线性方程组AX=0的每个解都能用基础解系线性 表示. 并且基础解系的线性组合都是AX=0的解． 一个线性方程组的基础解系含有多少个解向量呢？ 下面的定理回答了这个问题． 定理3.1 设 AX=0 是 n 元齐次线性方程组. 若秩A=r , 则 AX=0 的一个基础解系恰为 n-r 个线性无关的解向量

定理3.1的证明 证明:如果AX=0有一个基础解系包含n个向量, 则任意n-个线性无关的解均为基础解系.因此我们 只需证明AX=0有一个基础解系恰包含n个解向量. 当r=n时,系数矩阵A是一个列满秩矩阵,故方程 组AⅨ=0只有零解,因此基础解系包含η-η=0个解向量 当r<n时,方程组有n个自由变量,故其参数形 式的解由nr个参数给出,设为 上页下 圆回

定理３.1的证明： 证明: 如果 AX=0 有一个基础解系包含 n-r 个向量, 则任意 n-r 个线性无关的解均为基础解系. 因此我们 只需证明 AX=0 有一个基础解系恰包含 n-r 个解向量. 当 r=n 时, 系数矩阵 A 是一个列满秩矩阵, 故方程 组AX=0只有零解, 因此基础解系包含 n-n=0 个解向量. 当 r<n 时, 方程组有 n-r 个自由变量, 故其参数形 式的解由 n-r 个参数给出, 设为

x1=-b1r+1t lIn ln-r x)= -b2r+I t1 n Xr rr+ bnt xr+1= (其中t,,…,r是任意数) Xn n 写成向量形式为 r+1 b XI b r+1 b r n X +…+tn-r r+ 1 X 上页下 圆回

x 1  −b1r1 t1 −  −b1n tn−r x 2  −b2r1 t1 −  −b2n tn−r  xr  −brr1 t1 −  −brn tn−r xr1  t1  x n  tn−r , (其中t t 1 2 , ,",tn r − 是任意数.) 写成向量形式为: 1, 1 1, 1 , 1 , 1 1 1 0 0 1 r n r r r r n n r r n x b b x b b t t x x + + − + ⎛ ⎞ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = + ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ # # # " # # #

简记为:X=1q1+…+tn-ran=r 显然an,a2,…,an=都是AX=0的解并且AX=0 的每个解都可由它们线性表示.而矩阵 b ,r+ bn r,r+1 rn 1,02,…,Qn-r)= n-r 秩数为n 所以a1,Q2,…,Qn-r线性无关.从而为基础解系 上

X t1 1 n r n r 简记为: = + α α " + t − − 1 2 显然, , α α , , " αn r − 都 是AX = = 0的 解,并 且AX 0 的每个解都可由它们线性表示. 1, 1 1 , 1 1 2 n- r , , , ) I r n r r r n n r b b b b α α α + + − ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " ( " 而矩阵 秩数为 n-r . 1 2 , , , 所以 α α " αn r − 线性无关. 从而为基础解系

例3.1求下列方程组的一个基础解系及通解. X1-X2+X3-X4=0 2x1-2X2+X3+x4=0 3x1-3X2+2x3 0 4x1-4X2-3x3-X4=0 解:将系数矩阵化成约化阶梯矩阵 1-11-1 2×n+/1-11 2-211|-3×n+1300-13 3-320-4×+4 00-13 4-43-1 00-13 上页下 圆回

例3.1 求下列方程组的一个基础解系及通解. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 0 2 2 0 . 3 3 2 0 4 4 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪ − + − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + + = ⎪ ⎨ ⎪ − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − − = ⎪⎩ 解: 将系数矩阵化成约化阶梯矩阵. 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 2 0 4 4 3 1 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎝ ⎠ − 2× + r r 1 2 − 3× + r r 1 3 − 4 × + r r 1 4

1-11-1 1×2+p200 13 -1×+n|0000 0000 1-102 1×2+1|001-3 (约化阶梯矩阵) -1× 0 0 00 0 00 国园國[回

1 1 1 1 0 0 1 3 0 000 0 000 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ − 1× + r r 2 3 − 1× + r r 2 4 1 1 0 2 0 0 1 3 000 0 000 0 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1× + r r 2 1 − 1 × r 2 (约化阶梯矩阵 )

相应的方程组为 X1-X2+2X4=0 X3-3x4=0 令x2=a,X4=b则可得方程组的参数形式解 xI=a-2b X2 = a (a,b为任意数) X 36 x4 上页下 圆回

相应的方程组为 1 2 4 3 4 2 0 , 3 0 x x x x x ⎧⎪ − + = ⎪⎨⎪ − = ⎪⎩ 2 4 令 , x a = = x b 则可得方程组的参数形式解 x 1  a −2b x 2  a x 3  3b x 4  b , (a, b 为任意数)

X1 2 X 2 即 a X3 0/×0 x4)01 令吗=100m2=(2080y 则a1,a2是一个基础解系 从而,方程组的通解为 X=ac1+ba2,其中a,b是任意数 上页下 圆回

1 2 3 4 1 2 1 0 0 3 0 1 x x a b x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 即 1 2 1 2 (1,1,0,0) , ( 2,0,3,1) , , T T α α α α 令 = = − 则 是一个基础解系. a, b 从而, 方程组的通解为 1 2 X a = + α αb , 其中a 是任意数. , b