第一章几何空间中的向量 第一节数域与2阶、3阶行列式 数域约定 2阶行列式 3阶行列式 小结
第一章 几何空间中的向量 • 数域约定 • 2 阶行列式 • 3 阶行列式 • 小结 第一节 数域与2阶、3阶行列式
数域与2阶、3阶行列式 数域 数与数集的约定 N自然数集(包括0); z+正整数集; z整数集; Q有理数集; R+正实数集; R实数集; C复数集
数域与2阶、3阶行列式 一、 数域 数与数集的约定 复数集。 实数集； 正实数集； 有理数集； 整数集； 正整数集； 自然数集（包括 ）； C R R Q Z Z N + + 0
定义1-1:设是复数集的一个子集,如果P中包含 0与1,并且P关于加、减、乘、除(除数不为0)四 则运算是封闭的,即对于P中任意的a和b,恒有 a+b∈P,a-b∈P b∈P, P 则称P是一个数域( Number field) 显然,N和Z都不是数域,而Q、R、C都是数域, 分别称为有理数域、实数域、复数域
则称 是一个数域（ ） ， 则运算是封闭的，即对于 中任意的 和 ，恒有 与 ，并且 关于加、减、乘、除（除数不为 ）四 定义 ： 设是复数集的一个子集，如果 中包含 P Number field P b a ab P a b P a b P P a b P P + − − , 0 1 0 1 1 分别称为有理数域、实数域、复数域。 显然，N和Z都不是数域，而Q、R、C都是数域
例1-1数集Q(2)={+b2|a,b∈Q}是一个数域。 证明:因为 0=0+0×√2∈Q(2) 1=1+0×√2∈Q(2) 所以,Q(2)包括0和1 在Q(2)中任取两个数a+b2和c+d2,其中a,b, c,d∈Q,于是 (m+b2)土(c+d2)=(ac)+(b±d)2∈g(2) (a+b2)(c+d2)=(c+2bd)+(ud+bc)2∈Q(2) 所以,Q(2)关于加法、减法、乘法是封闭的
例1− 1 数集 Q( 2) = a + b 2 | a,bQ是一个数域。 所以， 关于加法、减法、乘法是封闭的。 （ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ） ，于是 在 中任取两个数 和 ，其中 所以， 包括 和 。 证明：因为 ( 2) 2 2 2 ( ) 2 ( 2) 2 2 ( ) 2 ( 2) , ( 2) 2 2 , , ( 2) 0 1 1 0 2 ( 2) 0 0 0 2 ( 2) Q a b c d ac bd ad bc Q a b c d a c b d Q c d Q Q a b c d a b Q Q Q + + = + + + + + = + + + = + = + 1
现设c+d√2≠0,于是c与l不全为0,则c-d2≠0,且 (c+d√2).(c-d√2)=c2-2d2≠0 所以 a+b√2(a+b√2)(c-d2 c+d√2(c+d、2)(c-d√2) ac-2bd bc-ad c2-22 2∈Q(2) c2-2d 即Q(2)对于除法是封闭的,Q(2)是一个数域。 例1-2数集Q(i)={+bia,b∈Q是一个数域 证明作为练习题
证明作为练习题 例1− 2 数集 Q(i) = a + bi | a,bQ 是一个数域。 即 对于除法是封闭的， 是一个数域。 （ ）（ ） ）（ 所以 （ ）（ ） 现设 ，于是 与 不全为 则 且 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 2 2 2 2 ( 2 2) 2 2 2 2 2 0 2 0 0, 2 0, 2 2 2 2 2 2 Q Q Q c d bc ad c d ac bd c d c d a b c d c d a b c d c d c d c d c d c d − − + − − = + − + − = + + + − = − + −
定理1-1任何数域都包含有理数域 注:有理数域Q是最小的数域 在任何数域P中,加法与乘法满足如下运算 对于a,b,c∈P,有 1°a+b=b+l 2°(a+b)+c=a+(b+c) 3°存在唯一的零元0,使得a+0=0+a=a 4°对于a∈P,存在唯一的逆元-a,称为a的相反数 a+(-a)=(-a)+a=0 5°ab=ba
定理1-1 任何数域都包含有理数域. 注： 有理数域Q是最小的数域 . 在任何数域P中，加法与乘法满足如下运算 ab ba a a a a a P a a a a a a b c a b c a b b a a b c P = + − = − + = − + = + = + + = + + + = + 5 ) ( ) 0 4 , , 3 0 0 0 2 ( ) ( ) 1 , , , （ 对于 存在唯一的逆元 称为 的相反数 存在唯一的零元 ，使得 对于 有
ab)C=a(bc 7°存在唯一的单位元1,使得a1=1·a=a 8°对于P中任意非零元a,存在唯一的a,使得 9°乘法关于加法的分配律 a(b+c=ab+ac (a+bc=ac + bc
a b c ac bc a b c ab ac aa a a P a a a a a ab c a bc + = + + = + = = = = = − − − ( ) ( ) 9 1 8 7 1 1 1 6 ( ) ( ) 1 1 1 乘法关于加法的分配律 对于 中任意非零元 ，存在唯一的 ，使得 存在唯一的单位元 ，使得
二、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 1x1+a12x2 b1,( 21x1+a2x2=2(2) × 2 124222 b,a 7)9 (2)xa12 12211 124222 b2 129 两式相减消去x2,得
用消元法解二元线性方程组 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得 二、 二阶行列式
11422 2a2)x=b4a2-a12b2 类似地,消去x,得 1202 2 215 当a1a2-a2a21≠0时,方程组的解为 122 12 1102 21 (3) 22 1221 1122 1221 由方程组的四个系数确定
; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21 0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = . （3） 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 由方程组的四个系数确定
定义1-2由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 11u12 21u22 表达式a1a2-a12a21称为数表(4)所确定的二阶 行列式,并记作 12 (5) 22 D= 12 11u22 12021· 21 22
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 (4) 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 定义1--2 (5) 4 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a a a a 行列式，并记作 表达式 − 称为数表（ ）所确定的二阶 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = −