§3.9列满秩矩阵 可逆矩阵要比一般矩阵更容易处 理这是因为有逆的帮助比如当方程组 Ax=b的系数矩阵A可逆是立即得出 方程组的解为x=A-1 本节将讨论可逆矩阵的一种推广-列或 满秩矩阵我们将证明这类矩阵与可逆矩 阵有许多相似的性质
§3.9 列满秩矩阵 x b x 可逆矩阵要比一般矩阵更容易处 理 这是因为有逆的帮助 比如当方程组 的系数矩阵 可逆是立即得出 方程组的解为 1 , . . A A A β − = = 本节将讨论可逆矩阵的一种推广---列或 满秩矩阵.我们将证明这类矩阵与可逆矩 阵有许多相似的性质
一个矩阵A称为左(右)可逆矩阵如果 有矩阵B使得BA=I(AB=I此时称B为A 的一个左(右)逆 从定义立即可知,一个左可逆的m×n 矩阵的每个左逆必为右可逆的n×m矩阵 例如设A=(DB、/0x 则有 AB=l于是,A是一个右可逆矩阵,B是A的 个右逆因为X是任意的,故A有无穷多个 右逆因此右可逆矩阵的右逆一般是不唯一的 国园國[回
一个矩阵A称为左(右)可逆矩阵,如果 有矩阵B使得BA=I (AB=I);此时称B为A 的一个左(右)逆. 从定义立即可知 一个左可逆的 矩阵的每个左逆必为右可逆的 矩阵 , . m n n m × × 例如设 则有 于是 是一个右可逆矩阵 是 的 一个右逆.因为 是任意的 故 有无穷多个 右逆.因此右可逆矩阵的右逆一般是不唯一的. 0 , ( 0), , . , , , r r A Ir B X AB I A B A X A ⎛ ⎞ × ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =
定理91设G是m×r矩阵,则下列陈述等价: 1.G为列满秩矩阵; 2.G有一个r阶非奇异子块; 3.G行等价于 4.有矩阵H(必为列满秩矩阵)使得(GH是 个可逆矩阵; 5.有矩阵K(必为行满秩矩阵使得KG=,即, G左可逆 上页下 圆回
定理9.1 , 设G m 是 ×r矩阵 则下列陈述等价 : 1. ; G为列满秩矩阵 2. ; G r 有一个 阶非奇异子块 3. ; 行等价于 0r I G ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 有矩阵 必为列满秩矩阵 使得 是一 个可逆矩阵 4. ( ) ( ) ; H G H 有矩阵 必为行满秩 矩阵使得 即 左可逆 5. ( ) , , . K KG I G =
证明(①)兮(2)由秩数的定义即得 (2)→(3)通过初等行变换可将G的阶子块 换到最上方,即有可逆矩阵P使得PC/4 ,其中 B A 0 A是一个r阶非奇异矩阵令q= -BA-1 m-r 则Q可逆从而QP可逆而且(QPA=0 上页下 圆回
证明 由秩数的定义即得 通过初等行变换可将 的 阶子块 换到最上方,即有可逆矩阵 使得 其中 是一个 阶非奇异矩阵令 则 可逆 从而 可逆 而且 1 1 (1) (2) . (2) (3) , 0 . , , , ( ) . 0 m r r G r A P PG B A A r Q BA I I Q QP QP A − − − ⇔ ⇒ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜− ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(3)→(4)设P是可逆矩阵使得PG= 即G=P1 令H=P1则易知H 是列满秩矩阵,且有 0 P(G H)=(PG PH)=\0 Im-r 因为(GH是m阶方阵故(GH是一个可逆矩阵 上页下 圆回
(3) 设 是可逆矩阵使得 即 令 则易知 是列满秩矩阵,且有 1 1 (4) , 0 0 . , 0 0 ( ) ( ) . 0 r r m r r m m r I P PG I G P H P H I I P G H PG PH I I − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 因为( ) G H 是m阶方阵,故(G H)是一个可逆矩阵
(4)→(5)将GH-按行分块为 K GH-1= L K KG KH Im=G h= L LG LH 从而KG=I1:由于r=秩KG≤秩K≤r, 从而必有秩K=r,即K是行满秩矩阵 国园國[回
将 1按行分块为 1 (4) (5) ( ) ( ) , G H K G H L − − ⇒ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 则 m ( ) , K KG KH I G H L LG LH ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 从而 由于 秩 秩 从而必有秩 即 是行满秩矩阵 . , , . KG r I r KG K r K r K = = ≤ ≤ =
(5)→(1)由KG=I可得 r=秩KG<秩G<r 故秩G=r,即G是列满秩矩阵. 定理92设G,H分别是列和行满秩矩阵, 牛则秩GA=秩AH=秩A 证明因为G是列满秩矩阵,故有矩阵 K使得KG=,从而 秩A=秩A=秩KGA<秩GA<秩A 于是,秩GA=秩A行满秩矩阵的结论类似. 国园國[回
由 可得 秩 秩 故秩 即 是列满秩矩阵 (5) (1) , , , . KG r I r KG G r G r G ⇒ = = ≤ ≤ = 定理 设 分别是列和行满秩矩阵 则秩 秩 秩 9.2 , , . G H GA = = AH A 证明 因为 是列满秩矩阵 故有矩阵 使得 从而 秩 秩 秩 秩 秩 于是 秩 秩 行满秩矩阵的结论类似. , , , , . G K KG I A IA KGA GA A GA A = = = ≤ ≤ =
定理93每个非零矩阵A都可分解为 个列满秩和一个行满秩矩阵之积且对于任 意两个这样的分解A=G1H1=C2H2,必有 可逆矩阵P使得GP=G,PH=H1,且 有秩G=秩H=秩A 证明设秩A=r,则由定理82可知有 可逆矩阵P,Q使得 0 A=P 00 Q=PLo(r 0)Q 国园國[回
定理 每个非零矩阵 都可分解为一 个列满秩和一个行满秩矩阵之积 且对于任 意两个这样的分解 必有 可逆矩阵 使得 且 有秩 秩 秩 1 1 2 2 1 1 1 9.3 , , , , . A A G H G H P GP G P H H G H A − = = = = = = 证明 设秩 则由定理 可知 有 可逆矩阵 使得 , 8.2 , , 0 ( 0) . 0 0 0 r r r A r P Q I I A P Q P I Q = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
令G=P 0 H=(10)Q,则A=GK, 且易知G,H的秩数均为r,从而分别为列满秩 和行满秩矩阵 设A=GH1=C2H2,其中G;H1(=1,2) 分别是列满秩和行满秩矩阵,则由定理9.2可知它 们的秩数均为r由定理9.1及其行满秩版本可得矩 阵K,L使得KG1=H1L=Ⅰ.于是 KG2H2L=KGHL=I 国园國[回
令 则 且易知 的秩数均为 从而分别为列满秩 和行满秩矩阵． , ( 0) , , 0 , , r r I G P H I Q A GK G H r ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 设 其 中 分别是列满秩和行满秩矩阵 则由定理 可知 它 们的秩数均为 由定理 及其行满秩版本可得矩 阵 使 得 于 是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , , ( 1,2) , 9.2 , . 9.1 , . . i i r A G H G H G H i r K L K G H L I KG H L KG H L I = = = = = = =
注意到KC2和H2L都是r阶方阵则可知它们 是可逆矩阵设P=KG2,则P=H2L于 是,用L右乘等式G1H1=C2H2两端可得 G1=C2P1,即GP=C2用K左乘等式 G1H1=C2H2两端可得H1=PH2,即 P-H,=H2 国园國[回
注意到 和 都是 阶方阵 则可知它们 是可逆矩阵.设 则 于 是,用 右乘等式 两端可得 即 用 左乘等式 两端可得 即 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 , , . , . , . KG H L r P KG P H L L G H G H G G P G P G K G H G H H PH P H H − − − = = = = = = = =