§1.1多项式及整除性 定义11设9是一些数组成的集合,而且不只含 个数,如果对于任意,它们的和、差、积、商(除数 不为0)均含于Ω,则称Ω是一个数域 命题11每个数域都包含有理数域,即有理数域是 最小的数域 QRC是三个最重要的数域,但数域并非仅此三种,如 下面例子所示 例1.1:设 92={a+b2|ab∈Q}, 则g是一个数域 上页下 圆回
§1.1 多项式及整除性 定义1.1 设Ω是一些数组成的集合，而且不只含一 个数，如果对于任意 ，它们的和、差、积、商 (除数 不为0) 均含于Ω ，则称Ω是一个数域. 命题1.1 每个数域都包含有理数域, 即有理数域是 最小的数域. { } 是三个最重要的数域，但数域并非仅此三种，如 下面例子所示. 例1.1: 设 则 是一个数域. Q R C ∈ Q , , Ω = +a b 2 a,b , Ω
数域上Ω的所有一元多项式构成之集合 记为9[x 多项式常用f(x)g(x),或fg…等来表示 f(x)的次数记为degf(x) ·系数全为0的多项式称为零多项式也用 0来表示从定义可看出,零多项式没有次 数的概念.零次多项式恰为非零常数 国园國[回
• 数域上Ω的所有一元多项式构成之集合 记为Ω[x] . • 多项式常用 f(x),g(x),… 或f,g…等来表示. f(x) 的 次数记为degf(x). • 系数全为 0的多项式称为零多项式, 也用 0来表示. 从定义可看出, 零多项式没有次 数的概念. 零次多项式恰为非零常数
定义1.2:设x是一个符号,n是一个非负整数, an,a12…,a∈Ω,则形式表达式 an+a1x+…+anx 称为数域Ω2上的一个一元多项式,其中ax称为该多 项式的i次项,a称为次项的系数;a称为常数项 牛当a,≠0时,ax称为该多项式的首项,首项的次数 n称为该多项式的次数. 定义1.3:如果多项式f(x)和g(x)的同次项系数全 相等,则称f(x)和g(x)相等,记为f(x)=g(x 国园國[回
0 1 0 1 0 x , , , , 0 n n n i i i n n n a a a a a x a x a x a i a a a x Ω + + + Ω ≠ … " 定义1.2：设 是一个符号，n是一个非负整数， ，则形式表达式 称为数域 上的一个一元多项式，其中 称为该多 项式的i次项， 称为 次项的系数； 称为常数项； 当 时， 称为该多项式的首项，首项的次数 n称为该多项式的次数. ∈ ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ). f x x f x x f x = x 定义1.3：如果多项式 和 g 的同次项系数全 相等，则称 和 g 相等，记为 g
和初等代数一样,我们可以定义Ω上的一元多项式的运算设 f(x)=a0+a1x+…+a g(x)=bo+b1x+…+bnx 则规定它们的加法与减法为(当m≤n时) f(x)±g(x)=(an±b)+(an±bn)x+…+(an±bn)x"±bm1xm± ±b 它们的乘法为 f(x)g(x)=co+c0x+…+ m+n m+ n x 其中ck=∑ab特别地,co=aobo,cm+n=ambn k 设f(x),g(x)均不为零,则从定义立即可以看出, ≠0,且deg(ig)=degf+degg; (f±g)=0或deg(f±g)≤max{degf,degg},其中max表示取最大值 f±g 上页
0 1 0 1 , . ( ) , ( ) , m m n n f x a a x a x g x b b x b x Ω = + + + = + + + " " 和初等代数一样 我们可以定义 上的一元多项式的运算 设 1 0 0 1 m n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; m m n m m m m m n f x g x a b a b x a b x b x b x + + ≤ ± = ± + ± +" " + ± ± ± ± 则规定它们的加法与减法为（当 时 ） 0 0 0 0 0 ( ) ( ) , . , . m n m n k i j m n m n i j k f x g x c c x c x c a b c a b c a b + + + + = = + + + = ∑ = = " 它们的乘法为 其 中 特别地， (), ( ) 1. fg 0, deg(fg) deg f deg g; 2. (f g) 0 deg( ) max{deg ,deg }, max . f x g x f g f g ≠ = + ± = ± ≤ 设 均不为零，则从定义立即可以看出， 且 或 其中 表示取最大值
命题12设f,g,h∈![x]则有 1.加法交换律:f+g=g+f 2.加法结合律:(∫+g)+h=∫+(g+h); 3.乘法交换律:g=gf; 4.乘法结合律:(fg)h=f(gh); 5.分配律:f(g+h)=fg+「h; 6.消去律:若/g=h,且∫≠0,则g=h 上页下 圆回
1 . 2 , , [ ] 1 . ; 2 . ( ) ( ) ; 3 . ; 4 . ( ) ( ) ; 5 . ( ) ; 6 . , 0 , . f g h x f g g f f g h f g h f g g f f g h f g h f g h f g f h f g f h f g h Ω + = + + + = + + = = + = + = ≠ = 命 题 设 则 有 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 分配律： 消去律：若 且 则 ∈