§2n阶行列式的性质及计算 复习 定义D nI a 定理( Laplace)D∑ak4k=∑a41(i,j=12,…,n) 新授: 、行列式的性质 a2 记D= 2 a (D) 行列式D称为行列式D的转置行列式(依次将行换成列) 性质1D=D 由此知,行与列具有同等地位。关于行的性质,对列也同样成立,反之亦然 如:D D D=D 性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号 如:D =ad-bc =bc-ad=-D 以r,表第i行,C,表第j列。交换订两行记为rF,交换两列记作 推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。 证:把这两行互换,有D=D故D=0 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个数k,等于用数k 乘此行列式(第i行乘以k,记作r1×k)
§2 n 阶行列式的性质及计算 复习： 定义 D= n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 21 2 11 12 1 = k n k a k A1 1 1 = 定理（Laplace） D= ik n k aik A =1 = ( , 1,2, , ) 1 a Akj i j n n k kj = = 新授： 一、 行列式的性质 记 D= n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 21 2 11 12 1 D T = n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 ( D ) 行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式（依次将行换成列） 性质 1 D=D T 由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。 如: D= c d a b D T = b d a c D=D T 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D= c d a b =ad-bc , a b c d =bc-ad= -D 以 r i 表第 i 行，C j 表第 j 列。交换 i,j 两行记为 r i j r ,交换 i,j 两列记作 C i C j 。 推论 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。 证：把这两行互换，有 D＝-D 故 D＝0 性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式（第 i 行乘以 k，记作 r i k ）
推论2行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的 外面 性质4若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式为零 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和(例如第i列) ta a,a nl a 21a22 anI an? nn anI an2 性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式的值不变(例如,以数k乘第j列,加到 第i列上,可记做C1+kC,) a 1a22 C+kc a (a2, +kayD) tka 性质7行列式的某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数 余子式的乘积之和等于零 按行:anA1+a2A2+…+anAn=0(≠ 按列:a14+a2A+…+an42=0(≠ 将性质7与 Laplace定理合并为下列结论: (1) ,4 (2) 0i≠ 这些性质证明从略,利用这些性质可以简化行列式的计算
推论 2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的 外面。 性质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第 i 列） D= ( ) ( ) n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a + + + 1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 ( ) 则 D= n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 + n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数 k 乘第 j 列，加到 第 i 列上，可记做 i j C + kC ） n n ni nj nn i j n i j n a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 i j C + kC ( ) ( ) ( ) n n ni nj nj nn i j j n i j j n a a a k a a a a a a k a a a a a a k a a a + + + 1 2 21 22 2 2 2 2 11 12 1 1 1 1 性质 7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数 余子式的乘积之和等于零。 按行： a A a A a A (i j) i1 j1 + i2 j2 ++ i n j n = 0 按列： a A a A a A (i j) 1i 1 j + 2i 2 j ++ ni nj = 0 将性质 7 与 Laplace 定理合并为下列结论： = = = i j D i j a A n k i k jk 1 0 （1） 和 = = = i j D i j a A n k ki kj 1 0 （2） 这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算
例1D 0-200 1-11=2,4100-20 例2 37-14 D 2-957 4-61 1-64 036 003 2230 例3 bb bl +36 a+36 a+3b a+3b 片+F2++F D bb a bl bbb a b br b00 (a+3b bb a bi=2,3,4 b 0 bbb 0 0 (a+3b)(a-b) p+gg+r rtp p q 例4证明|P q1 +P1|=2P1q1F P2+q2q2+h2F2+P2|P2q2 p q pp q 左端=P1q1++P|+9191++P|=|P19+ P2q2+n22+P21292+n2n2+p2P2q2+2F2 q1 r n+P=P1 q1 n+ q1 r p 2P2F2+P2|P22 h2P2|P2q22
例 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − D = 1 2,3,4 r r i i − = = 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 − − − = −8 例 2 4 6 1 2 5 9 2 7 3 7 1 4 2 5 1 2 − − − − − D = 1 3 c c == 1 6 4 2 2 9 5 7 1 7 3 4 1 5 2 2 − − − − − − 2 1 4 1 3 1 2 r r r r r r + − − = 0 1 2 0 0 1 1 3 0 2 1 6 1 5 2 2 − − − − 2 4 3 4 r 2r r r + + = 0 1 2 0 0 0 3 3 0 0 3 6 1 5 2 2 − − − 2 4 r r == 9 0 0 0 3 0 0 3 0 0 1 2 0 1 5 2 2 = − − − 例 3 b b b a b b a b b a b b a b b b D = 1 2 3 4 r +r +r +r = b b b a b b a b b a b b a + 3b a + 3b a + 3b a + 3b a b r 3 1 1 + = ( ) b b b a b b a b b a b b a b 1 1 1 1 + 3 1 2,3,4 r br i i − = = ( ) a b a b a b a b − − − + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 3 = (a + 3b)(a − b) 例 4 证明 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 p q q r r p p q q r r p p q q r r p + + + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 p q r p q r p q r = 证：左端 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 p q r r p p q r r p p q r r p + + + + + + = 第一列 性质 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 q q r r p q q r r p q q r r p + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 p q r r p q r r p q r r + + + = 2 2 2 2 1 1 1 1 q r r p q r r p q r r p + + + + 2 2 2 1 1 1 p q r p q r p q r = 2 2 2 1 1 1 q r p q r p q r p + 2 2 2 2 1 1 1 p q r p q r p q r =
§3卡莱姆法则 含有n个未知数x1x2…,xn的n个线性方程的方程组 a1x+a1x2+…anxn=b a21x1+a2 (1) bn 与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示,即 定理( Cramer法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即 D ≠0,则方程组(1)有且仅有一组解: X1 D g 3 其中D、(=12,,n)是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右 端的常数代替后所得到的n阶行列式 b bn 证明思路 (1)如果有解,其解必为(2)唯一。 2再验证(2)确为(1)的解。证略 例1求解线性方程组 2 5 3 4x,+3x 解:系数行列式 102 l120-2按第三列 43-1-1-230-1
§3 卡莱姆法则 含有 n 个未知数 n x , x ,..., x 1 2 的 n 个线性方程的方程组 + + = + + = + + = n n nn n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用 n 阶行列式表示，即 定理（Cramer 法则） 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 n nn n a a a a D 1 11 1 = 0 ，则方程组(1)有且仅有一组解： D D x 1 1 = ， D D x 2 2 = ，…， D D x n n = (2) 其中 D ( j n) j = 1,2,..., 是把系数行列式 D 中的第 j 列的元素用方程组右 端的常数代替后所得到的 n 阶行列式 n n j n n j nn j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 21 2, 1 2 2, 1 2 11 1, 1 1 1, 1 1 − + − + − + = 证明思路： 1 （1）如果有解，其解必为（2）唯一。 2 再验证（2）确为（1）的解。 证略 例 1 求解线性方程组 − = + − − = + − − = − + = − 2 0 4 3 0 3 2 2 6 2 5 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x x x x x x x x x 解： 系数行列式 2 0 1 0 4 3 1 1 3 2 1 2 1 1 0 2 − − − − − − D = 2 0 1 0 2 3 0 1 1 2 0 2 1 1 0 2 2 4 3 4 − − − − = − − r r r r 2 3 1 1 2 2 1 1 2 − − − = 按第三列 展开 2 3 1 3 4 0 2 1 0 1 2 2 2 3 − = − − + − r r r r 5 0 3 4 2 1 = − − = −
同样可以计算 5-102 502 6-1 D1=03 =10,D2= 15 00-10 10 10 326 32-16 000 20-10 所以 D D D 注意1.克莱姆法则的条件:n个未知数,n个方程,且D≠0 a1x1+a12x2+…a1nxn=0 a21x1+a2x2+…a2nxn=0 anx1+an2x2+…amxn=0 称为n元齐次线性方程组。 当(1)的常数项不全为零时,(1)称为n元非齐次线性方程组。 显然当x1=0=12,)是(3)的解 推论若(3)的系数行列式D≠0,则它只有零解。即若(3)有非零解, 则必有D=0。 3.克莱姆法则的关键是行列式的计算,加强之 例2证明范德蒙行列式 IIl -x) 其中,记号“∏”表示全体同类因子的乘积。 用归纳法,因为D xx-x=∏[r 2-x 所以,当n=2时,(4)式成立,现设(4)式对n-1时成立,要证对n时也 成立。为此,设法把D降阶;从第n行开始,后行减去前行的x1倍,有
同样可以计算 10 0 0 1 0 0 3 1 1 6 2 1 2 5 1 0 2 1 = − − − − − − − D = ， 15 2 0 1 0 4 0 1 2 3 6 1 2 1 5 0 2 2 = − − − − − − − D = ， 20 2 0 0 0 4 3 0 1 3 2 6 2 1 1 5 2 3 = − − − − D = ， 25 2 0 1 0 4 3 1 0 3 2 1 6 1 1 0 5 4 = − − − − − − D = 所以 2 1 1 = = D D x ， 3 2 2 = = − D D x ， 4 3 3 = = D D x ， 5 4 4 = = − D D x 注意 1. 克莱姆法则的条件：n 个未知数，n 个方程，且 D 0 2. + + = + + = + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （3） 称为 n 元齐次线性方程组。 当（1）的常数项不全为零时，（1）称为 n 元非齐次线性方程组。 显然当 x = 0(i =1,2,...) i 是（3）的解。 推论 若（3）的系数行列式 D 0 ，则它只有零解。即若（3）有非零解， 则必有 D = 0。 3. 克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。 例 2 证明范德蒙行列式 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 − − − = n n n n n n n x x x x x x x x x D ( ) = − n i j 1 i j x x （4） 其中，记号“ ”表示全体同类因子的乘积。 证： 用归纳法 ，因为 = = 2 − 1 = 1 2 2 1 1 x x x x D ( ) − 2 i j 1 i j x x 所以，当 n=2 时，（4）式成立，现设（4）式对 n-1 时成立，要证对 n 时也 成立。为此，设法把 Dn 降阶；从第 n 行开始，后行减去前行的 1 x 倍，有
0x2-x (x2-x)x3(x3-x) xn ( n-x (按第一列展开,并提出因子x1-x) =(x2-x)(x3-x)…(xn-x1 (n-1)阶范德蒙行列式 由假设 (x2-xXx-x)-xn-x)∏(x-x)=∏x-x) 222 n212/21 例3 D 0 ba0 0 6 (2a+b (2a+ 0 6 -b 0 b 0 0 6- (2a+b)2-b-ba-b=(2a+b)X-b) b =(2a+b)-b2-(b-) 作业 习题1-31.(2)、(4)、(5)2.(1)3(1) 1-42.3.4. 1-51.(1)4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 3 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n − − − − − − − − − − − − = − − − （按第一列展开，并提出因子 1 x x i − ） ( )( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 − − − = − − − n n n n n n x x x x x x x x x x x x (n −1) 阶范德蒙行列式 由假设 = ( )( ) ( ) ( ) − − − − 2 2 1 3 1 1 n i j n i j x x x x x x x x = ( ) − n i j 1 i j x x 证毕 例 3 0 0 0 0 a b a b a a a a b a b a D = 0 0 0 2 2 2 2 1 2 3 4 a b a b a a a a b a b a b a b a b r r r r + + + + = + + + ( ) 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 a b a b a a a a b a b a b r = + + ( a b) b a a a b b a b r r a b a r br r ar + − − − − − − − = − − − 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 ( ) b a a a b b a b a b a a b − − − − − − − = + 0 0 2 ( )( ) b a a a b a a b b − − − − = 2 + − ( )( ) ( ) 2 2 4 2 2 = 2a + b − b a − b − a = b − 4a b 作业 习题 1-3 1. （2）、（4）、（5）2. （1） 3（1） 1-4 2. 3. 4. 1-5 1. （1） 4