第四章线性方程纽 §4.2线性方程组的解法 个线性方程组AX=B的解的数量有三种情况:0,1, 对于第三种情况,逐个写出这些解是不可能的 解线性方程组的本质就是用一组可自由取值的变量 (称为自由变量)来表示其余的变量(称为主变量)使得对于自由 变量的任一组值,都能唯一确定主变量的值,它们一起构成方程 组的一个解.注意:主变量和自由变量的分法并不是唯一的 自然地我们应解决以下问题 方程组何时有解 2.若方程组有解,哪些变量可取作主变量? 下一页
第四章 线性方程组 §4.2 线性方程组的解法 一个线性方程组 AX=B 的解的数量有三种情况: 0, 1,∞. 对于第三种情况,逐个写出这些解是不可能的 . 解线性方程组的本质就是用一组可自由取值的变量 ---- (称为自由变量)来表示其余的变量(称为主变量),使得对于自由 变量的任一组值, 都能唯一确定主变量的值, 它们一起构成方程 组的一个解. 注意：主变量和自由变量的分法并不是唯一的. 自然地,我们应解决以下问题: １．方程组何时有解? ２．若方程组有解,哪些变量可取作主变量? 下一页
为了解决上面提出的问题,首先引入同解方程组的概念 设有两个n元线性方程组(I)和(I),若(1)的每个解都是 (I)的解,反之(I)的每个解都是(I)的解,则称这两个方程 组同解, 若矩阵A可经过行 对方程组AX=b,矩阵(Ab称为增广矩阵.初等变变为阵 命题2.1若两个线性方程组的增广矩阵行等价,则这两 个方程组同解 我们有下面的定理 定理21线性方程组AX=B有解的充分必要条件是系 数矩阵和增广矩阵的秩数相等 上页下 圆回
为了解决上面提出的问题，首先引入同解方程组的概念. 设有两个 n元线性方程组(I) 和(II), 若(I)的每个解都是 (II)的解, 反之(II)的每个解都是(I) 的解, 则称这 两个方程 组同解. 命题2.1 若两个线性方程组的增广矩阵行等价, 则这两 个方程组同解. 若矩阵 A可经过行 初等变换变为矩阵 对方程组 B,则称 A 与 B等价 AX=b, 矩阵(A b)称为增广矩阵. 我们有下面的定理: 定理2.1 线性方程组 AX=B 有解的充分必要条件是系 数矩阵和增广矩阵的秩数相等
下面讨论哪些变量可取作主变量. 我们用一个五阶行列式来说明这个问题 设线性方程组AX=硎 ala2a13a14a15Xx1「h A21a2aa4a2512b2 ala3?a33a34a351X=b有解 a41 a42 a43 a44 a45x4 b a51a52a53a54 并且秩A=秩(Ab)=2, a21a22 设 就是一个阶的非奇异子块 a31 a32 上页下 圆回
下面讨论哪些变量可取作主变量. 我们用一个五阶行列式来说明这个问题. 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 1 21 22 23 24 25 2 31 32 33 34 35 3 41 42 43 44 45 4 51 52 53 54 55 5 b b b b b AX b a a a a a x a a a a a x a aaa a x a aaa a x a a a a a x = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 设线性方程组 即 有解 并且秩A=秩(A b)=2, 22 31 32 2 a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ a21 设 就是一个 阶的非奇异子块
因为增广矩阵的秩数为2,所以第二行和第三行是增广 矩阵的行向量组的一个极大无关组.从而其它的行都可以用 这两行来表示,因此可以用这两行将其他行化为0 000000 21a2a8a4a25b2 31a32a33a34a35b 000000 00 000 b 原方程化为 ala2234a25 X 31a32a93a34 a35x4 记为C记为D 上页下 圆回
因为增广矩阵的秩数为2, 所以第二行和第三行是增广 矩阵的行向量组的一个极大无关组. 从而其它的行都可以用 这两行来表示, 因此可以用这两行将其他行化为0. 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 51 52 53 54 55 b b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aaa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 21 22 23 24 25 2 3 31 32 33 34 35 3 4 5 x x a a a a a b x a a a a a b x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 记为 ⎣ ⎦ C 记为 D 原方程化为:
b2 X 3「b2 则CD]x8=即 b3 C||+D 2 X4 X5 X1 3 b2 从而 -C- D X4+ 由此可知可取X,X2变量为主变量,其余的为自由变量 上页下 圆回
[ ] 1 2 2 3 3 4 5 x x b C D x b x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则 3 1 2 4 2 3 5 x x b C D x x b x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 即 3 1 2 1 4 2 3 5 x x b C D x x b x − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 从而 1 2 由此可知 ,可取x x, 变量为主变量 ,其余的为自由变量
推广上面的例子,我们有下面的定理: 命题2.2设线性方程组AX=B有解,且秩A=r,若M 是A的一个r阶非奇异子式,则M所占的方程构成的方 程组与原方程组同解,且以M的元素为系数的r个变量可 取作主变量 解线性方程组的 Gauss- Jordan消元法 在实际计算中,一般不需要先确定哪些变量是主变量 通常的做法是: 1.先对增广矩阵作行变换,将其中的「个列化成E1,…,Er 其中,r=秩A. 2.然后取这r个列对应的变量为主变量,将主变量用其余 变量表出,即可得参数形式的解 上页下 圆回
推广上面的例子，我们有下面的定理： 命题2.2 设线性方程组 AX=B 有解, 且秩A=r . 若 M 是 A 的一个 r 阶非奇异子式 , 则 M 所占的方程构成的方 程组与原方程组同解, 且以 M 的元素为系数的 r 个变量可 取作主变量. 解线性方程组的Gauss-Jordan消元法 在实际计算中, 一般不需要先确定哪些变量是主变量． 通常的做法是： 1. 先对增广矩阵作行变换, 将其中的 r 个列化成 其中，r= 秩A ． 1 , … , r 2. 然后取这 r 个列对应的变量为主变量, 将主变量用其余 变量表出 ,即可得参数形式的解
例2.1求解线性方程组 X3+X4+2x5=1 X1+x+2x3+x4+x5=3. X1+X2+3x3+Xx4+X5=3 解:将增广矩阵用初等行变换化成约化阶梯矩阵, 00112 001121 12113 -1×P+[3 112113 113113 001000 Ii<12 112113 001121 00①000 上页下 圆回
例2.1 求解线性方程组 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 1 2 3. 3 3 x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪ ⎪ + + = ⎪ ⎪⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + + + = ⎪⎩ 解：将增广矩阵用初等行变换化成约化阶梯矩阵, 0 0 1 1 2 1 112 1 1 3 1 1 3 1 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 0 0 1 000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1× + r r 2 3 r r 1 2 ↔ 1 1 2 1 1 3 0 0 1 1 2 1 0 0 1 000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
112113 1×13+12 000121 001000 112113 000121 001000 1×13+i 1100-12 001000 1×13+2 000121 上页下 圆回
− 1× + r r 3 2 1 1 2 1 1 3 0 0 012 1 0 0 1 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 1 1 3 0 0 012 1 0 0 1 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 000 1 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1× + r r 3 1 − 1× + r r 3 2
由此得同解方程组 X1+X 2 X5 X =0 X4+2X5=1 X1 X+X5+ X3=- 0 2X5+1 上页下 圆回
由此得同解方程组 1 2 5 3 4 5 2 0, 2 1 x x x x x x ⎧⎪ ⎪ + − = ⎪ ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + = ⎪⎩ 1 2 5 3 4 5 2 0 . 2 1 x x x x x x ⎪ ⎧⎪ = − + + ⎪ ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − + ⎪⎩ 即
取x2=a,x5=b,可得参数形式解 a+b+2 a X4 2b+1 b 其中a,b是任意数 国园國[回
2 5 取x a = = , x b，可得参数形式解 1 2 3 4 5 2 0, 2 1 x a b x a x x b x b ⎧⎪ = − + + ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = − + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪⎩ 其中a b, 是任意数