第二学期第二十二次课 §3实系数多项式根的分布 9.3.1复系数多项式的根的绝对值的上界 命题设f(x)=ax"+a1x+…+an∈C[x,其中a0≠0而n≥1。令 A=max{a1a2l…,lanB 则对f(x)的任一复根α,有ak1+A/a0 证明如果A=0,则α=0,命题成立。下面设A>0 如果|a1+A∥an|,那么,因为f(α)=0,故有 a0"Haa-+…+an图a1‖acr"+…+|anl 1)=A(a--1)/(a|-1) 现在|a">1,故从上式立刻得到 laoa"kAlar/dal-1) 两边消去a",得|ak<1+A/|ao|,矛盾 由该命题,我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为 C1-A/aoL, 1+A/ao D 9.32斯图婚定理 名词给定实数序列 将其中等于零的项划掉,对剩下的序列从左至右依次观察,如果相邻两数异号,则成为一个 变号;变号的总数称为该序列的变号数 又给定实系数多项式的序列 f(x).f2(x)…,fn(x) (1) 对a∈R,实系数序列f(a),f2(a)…,fn(a)的变号数称为多项式序列(1)在x=a处的变 号数,记作W(a)。相应地,我们把W(x)称为多项式序列(1)的变号数函数。 定义94(斯图姆序列)现设f(x)是一个次数n≥1的无重根的实系数多项式。实 系数多项式序列 f6(x)=f(x),f(x),f(x),…,f(x) 如果满足下列条件: (i)相邻两个多项式f(x),f1(x)(i=0,1,2,…,S-1)没有公共根 (ⅱi)最后一个多项式∫(x)没有实根
第二学期第二十二次课 §3 实系数多项式根的分布 9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界 命题 设 1 0 1 ( ) [ ] C n n n f x a x a x a x − = + + + ，其中 0 a 0 而 n 1 。令 A a a a = max{| |,| |, ,| |} 1 2 n 则对 f x( ) 的任一复根 ，有 0 | | 1 / | | + A a 。 证明 如果 A= 0 ，则 = 0 ，命题成立。下面设 A 0 。 如果 0 | | 1 / | | + A a ，那么，因为 f ( ) 0 = ，故有 1 1 0 1 1 1 1 | | | | | || | | | (| | 1) (| | 1) /(| | 1) n n n n n n n a a a a a A A − − − − = + + + + + + = − − 现在 | | 1 n ，故从上式立刻得到 0 | | | | /(| | 1) n n a A − 两边消去 | |n ，得 0 | | 1 / | | + A a ，矛盾。 由 该 命 题 ， 我 们 可 以 估 计 一 个 是 系 数 多 项 式 的 实 根 的 分 布 范 围 为 ： 0 0 ( 1 / | |,1 / | |) − − + A a A a 。 9.3.2 斯图姆定理 名词 给定实数序列 1 2 , , , n a a a 将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个 变号；变号的总数称为该序列的变号数。 又给定实系数多项式的序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x （1） 对 aR ，实系数序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f a f a f a 的变号数称为多项式序列（1）在 x a = 处的变 号数，记作 W a( ) 。相应地，我们把 W x( ) 称为多项式序列（1）的变号数函数。 定义 9.14 （斯图姆序列） 现设 f x( ) 是一个次数 n 1 的无重根的实系数多项式。 实 系数多项式序列 0 1 2 ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) s f x f x f x f x f x = （2） 如果满足下列条件： （i）相邻两个多项式 1 ( ), ( )( 0,1,2, , 1) i i f x f x i s + = − 没有公共根； （ii） 最后一个多项式 ( ) s f x 没有实根；
(i)如果某个相邻中间多项式f(x)(1≤i<s)有一个实根α,则 f=1(0)f(0)<0 (iv)如果∝是f(x)的实根,则∫(x)f(x)在x=a的一个充分小的邻域内为递增 函数, 则称序列(2)为f(x)的一个斯图姆序列 定理(斯图姆定理)设∫(x)是一个无重根的实系数多项式,它有一个斯图姆序列(2) 以W(x)表(2)的变号数函数。设a,b是两个实数,它们不是f(x)的根,且a<b,则f(x) 在区间(a,b)内实根的个数等于W(a)-W(b)。 证明将斯图姆序列(2)中各个多项式的实根通通收集在一起,并按大小依次排列如 <a<…<a 因为在区间(-∞,a1),(a2a1)=1,2,…,k-1),(a4,+∞)内(2)中任一多项式都无实根, 因而它们在这些区间内都不变号。于是,在这些区间内,W(x)为常数。下面我们只要证明 )如果a1不是f(x)的根,则在a1左右两边W(x)的函数值相等 2)如果a是f(x)的根,则在a1左端W(x)的函数值比a1右端W(x)的函数值大 对每个a,我们来考察斯图姆序列(2)中如下两种类型的小段: (a)a.不是(2)中t个连续多项式 f+1(x),f2(x)…,J:(x)(3) 的根(t≥2),由于实系数多项式为数轴上的连续函数,按连续函数的性质知,在a1的一个 邻域(a1-E,a1+8)内(3)中每个多项式都不变号,从而在此小邻域内(3)的变号数函数 为常数 (b)a1是(3)中间某个多项式∫(x)0<j<s)的根,考察(3)的小段 J-1(x),f(x),Jf1(x)(4) 按斯图姆序列的条件(i)和(ii),此时a不是J1(x)和1(x)的根,且f1(a1)(a)<0 有连续函数的性质知,在a1的一个邻域(a-Ea+8)内恒有f-(x)1(x)<0,于是 在此邻域内(4)的变号函数恒等于1,也是常数。 现设a不是f(x)的根。这时序列(2)中任意两个相邻多项式f=(x)和+(x)或属于 类型(3)的小段,或属于类型(4)的小段,又由斯图姆序列的条件(i)知这两类型的小 段无重迭(但左端或右端的多项式可以相同),根据上面(a)、(b)的讨论在每个小段变号 数函数在邻域(a1-E,a1+8)内都是常数,(2)的变号数函数为每个小段变号数函数之和 从而在a1的邻域(a1-E,a1+8)内W(x)为常数,即a1左端与a右端W(x)的函数值相等
（iii） 如 果 某 个 相 邻 中 间 多 项 式 ( )(1 ) i f x i s 有一个实根 ， 则 1 1 ( ) ( ) 0 i i f f − + ； （iv） 如果 是 f x( ) 的实根，则 1 f x f x ( ) ( ) 在 x = 的一个充分小的邻域内为递增 函数， 则称序列（2）为 f x( ) 的一个斯图姆序列。 定理（斯图姆定理）设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。 以 W x( ) 表（2）的变号数函数。设 a b, 是两个实数，它们不是 f x( ) 的根，且 a b ，则 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内实根的个数等于 W a W b ( ) ( ) − 。 证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如 下： 1 2 k a a a 。 因为在区间 1 1 ( , ),( , )( 1,2,..., 1),( , ) i i k a a a i k a − = − + + 内（2）中任一多项式都无实根， 因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内， W x( ) 为常数。下面我们只要证明： 1） 如果 i a 不是 f x( ) 的根，则在 i a 左右两边 W x( ) 的函数值相等； 2） 如果 i a 是 f x( ) 的根，则在 i a 左端 W x( ) 的函数值比 i a 右端 W x( ) 的函数值大 1。 对每个 i a ，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段： （a） i a 不是（2）中 t 个连续多项式 1 2 ( ), ( ), , ( ) j j j t f x f x f x + + + （3） 的根 ( 2) t ，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在 i a 的一个 邻域 ( , ) i i a a − + 内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数 为常数。 （b） i a 是（3）中间某个多项式 ( )(0 ) j f x j s 的根，考察（3）的小段 1 1 ( ), ( ), ( ) j j j f x f x f x − + （4） 按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时 i a 不是 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 的根，且 1 1 ( ) ( ) 0 j i j i f a f a − + 有连续函数的性质知，在 i a 的一个邻域 ( , ) i i a a − + 内恒有 1 1 ( ) ( ) 0 j j f x f x − + ，于是 在此邻域内（4）的变号函数恒等于 1，也是常数。 现设 i a 不是 f x( ) 的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 或属于 类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小 段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号 数函数在邻域 ( , ) i i a a − + 内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和， 从而在 i a 的邻域 ( , ) i i a a − + 内 W x( ) 为常数，即 i a 左端与 i a 右端 W x( ) 的函数值相等
如果a1为f(x)的根。这时序列(2)中仅有f(x),f(x)不属于上述(3)(4)类型,故 只需考察序列f(x)f(x)的变号数在a左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件(iv), 乘积f(x)1(x)在a1的某邻域(a1-Ea1+)内为增函数。我们已知f(a)f(a)=0,故在a1 左端∫(x),f(x)异号,即有一个变号,而在a1的右端∫(x),f(x)同号,即无变号。现在不 管a1是不是(2)中某个多项式的根,根据上一段的讨论,它们对邻域(a4-8,a1+E)内W(x) 的值没有影响。由此知此时a左端W(x)的值比右端的大1 现在让x从a向b运动,每经过f(x)的一个实根时,W(x)的函数值减1,在其他情况 下W(x)的值不变。故在(a,b)内f(x)的实根个数为W(a)-W(b) 9.33斯图姆序列的构造方法 设f(x)是 个无重根的实系数多项式,取 f6(x)=f(x),f(x)=f(x)(设degf(x)21)。以f(x)除f(x),得 fo(x)=q,(x)f(x)+r(x), (x)=Op deg r(x)<degf(x) 如(x)=0,过程到此结束。否则,取f2(x)=-(x),再用f2(x)去除f(x),得 f(x)=q2(x)/2(x)+2(x) r(x)=Oo degn(x)< deg,(x) 如r2(x)=0,过程到此结束。否则,取f(x)=-12(x),再用f(x)去除f2(x),…,经过 若干步后,我们有 f1(x)=q,(x)f(x) 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是f(x)的一个斯图姆序列 如果f(x)是一个有重根的实系数多项式序列,设其素因式标准分解式为 f(x)=aP1(x)…p,(x) 这时我们仅需研究f(x)=P1(x)…P,(x)的实根分布就可以
如果 i a 为 f x( ) 的根。这时序列（2）中仅有 1 f x f x ( ), ( ) 不属于上述（3）（4）类型，故 只需考察序列 1 f x f x ( ), ( ) 的变号数在 i a 左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv）， 乘积 1 f x f x ( ) ( ) 在 i a 的某邻域 ( , ) i i a a − + 内为增函数。我们已知 1 ( ) ( ) 0 i i f a f a = ，故在 i a 左端 1 f x f x ( ), ( ) 异号，即有一个变号，而在 i a 的右端 1 f x f x ( ), ( ) 同号，即无变号。现在不 管 i a 是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域 ( , ) i i a a − + 内 W x( ) 的值没有影响。由此知此时 i a 左端 W x( ) 的值比右端的大 1。 现在让 x 从 a 向 b 运动，每经过 f x( ) 的一个实根时， W x( ) 的函数值减 1，在其他情况 下 W x( ) 的值不变。故在 ( , ) a b 内 f x( ) 的实根个数为 W a W b ( ) ( ) − 。 9.3.3 斯图姆序列的构造方法 设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，取 0 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ), ( ) ( )( deg ( ) 1) = = 设 。以 1 f x( ) 除 0 f x( ) ，得 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ) f x q x f x r x r x r x f x = + = 或 如 1 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 2 1 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 2 f x( ) 去除 1 f x( ) ，得 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ). f x q x f x r x r x r x f x = + = 或 如 2 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 3 2 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 3 f x( ) 去除 2 f x( )， ，经过 若干步后，我们有 1 ( ) ( ) ( ) s s s f x q x f x − = 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是 f x( ) 的一个斯图姆序列。 如果 f x( ) 是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为 1 0 1 ( ) ( ) ( ) r k k r f x a p x p x = 这时我们仅需研究 1 ( ) ( ) ( ) r f x p x p x = 的实根分布就可以了