北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.3 线性映射与线性变换 4.3.2 线性映射的运算的定义与性质 4.3.3 线性映射在一组基下的矩阵的定义

第一学期第二十四次课 432线性映射的运算的定义与性质 定义线性映射的运算(加法与数域K上的数量乘法) 设∫:U→V,g:U→V为线性映射,定义∫+g为 a+f(a)+g(a)(a∈U) 定义kf(k∈K)为 k…f:U aHk(a)(a∈U) 说明∫+g与k仍为线性映射。 命题Homk(U,V)在加法和数乘下构成数域K上的线性空间。 证明逐项验证 定义线性映射的乘法(复合) 设存在映射f,g,U-V-8→W,映射的乘法定义为(g°f)(a)=g(f(a)。易 验证,gof∈Hom(U,W)。 特别地,称V到自身的线性映射为V上的线性变换,常记Hom(V,V)为End End()中的元素(线性变换),用黑体或空体表示 对于f(x)=a0+a1x+a2 +ax",a,∈K,规定 f(A)=a0+a1A+a242+…+anA",a∈K 433线性映射在一组基下的矩阵的定义 定义设∫∈Hom(U,V),取U的一组基E12E2…En和V的一组基7hn2…7n,设 f(E1)=a11+a212 Imln f(E2)=a12+a2n2+…+ann f(en=a,n+a,,n (f(E)f(E2)…,f(En)=(7,n2…,7n) am,l a

第一学期第二十四次课 4.3.2 线性映射的运算的定义与性质 定义 线性映射的运算（加法与数域 K 上的数量乘法） 设 f U V : → ， g U V : → 为线性映射，定义 f g + 为 : , ( ) ( ).( ) f g U V     f g U + → +   定义 k f k K ( )   为 : , ( ).( ) k f U V    kf U →   说明 f g + 与 k f 仍为线性映射。 命题 Hom (U,V) K 在加法和数乘下构成数域 K 上的线性空间。 证明 逐项验证。 定义 线性映射的乘法（复合） 设存在映射 f g, ， f g U V W ⎯⎯→ ⎯⎯→ ，映射的乘法定义为 ( )( ) ( ( )) g f g f   = 。易 验证， g f U W Hom( , ) 。 特别地，称 V 到自身的线性映射为 V 上的线性变换，常记 Hom( , ) V V 为 End( ) V 。 End( ) V 中的元素（线性变换），用黑体或空体表示。 对于 2 0 1 2 ( ) , n n i f x a a x a x a x a K = + + + +  ，规定 2 0 1 2 ( ) , n n i f a a a a a K A A A A = + + + +  。 4.3.3 线性映射在一组基下的矩阵的定义 定义 设 f U V Hom( , ) ，取 U 的一组基 1 2 , , , n    和 V 的一组基 1 2 , , ,    m ，设 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) , ( ) , ( ) . m m m m n n n mn m f a a a f a a a f a a a             = + + + = + + + = + + + 于是 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) . n n n m m m mn a a a a a a f f f a a a             =        

称(an)为∫在基E1,E2…,En和n1,72,…7n下的矩阵。 在给定U和V的基的前提下,Hom(U,V)中的元素与它的矩阵互相决定,严格地说, 有: 命题设U和V是数域K上的线性空间,dmU=n,dmV=m,则Homk(U,V 同构于K上的m×n矩阵的全体构成的线性空间 证明取定U和V的基E12E2…,En和n,2…7m,考察映射 a:Hom(U,V)→Mm2(K) 其中A是∫的矩阵。Va∈U,a=kE1+k2E2+…+knEn k2 k f(a)=f(61,E2…,En) (f(,2…:5n):|=(n,nh2…,mn)4 于是f(a)在V中的坐标为4 1、证明σ是单射,设∫≠g,若它们的矩阵分别为A,B,则A≠B。否则U中任一 向量在f,g下的像坐标相同→∫=g 2、证明σ是满射,任给C∈M,定义从U到的映射∫,满足 ((s1),f(E2),…,f(sn)=(,n2…n)C.再对任一a=k51+k2E2+…+k,En∈U,令 f(kE1+k2E2+…+kEn)=kf(E1)+k2f(E2)+…+knf(En), 易见∫线性,即线性映射∫的矩阵就是C。 3、证明σ是线性映射,设∫,g∈Hom(U,V),它们的矩阵分别为A,B, (f+g)E1)=f(s)+g(6)=(a1n+a1272+…+amnn)+(b1nh+b22+…+bnn) =(a1+bh1+(a2+b2)2+…+(am+bmn(=1,2,…,n) 于是∫+g在E1,E2…,En和n1,n2,…,1n下的矩阵为A+B;同理可证(4)=ko()。 命题得证 线性映射的复合的矩阵 命题设f∈Hom(U,g∈Hom(,W),设U,V,W的基为E1E2,…,En 7,2,…,n和5152,…5,记∫和g在这组基下的矩阵分别为A和B,则g°f在基

称 ( )ij a 为 f 在基 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,    m 下的矩阵。 在给定 U 和 V 的基的前提下， Hom( , ) U V 中的元素与它的矩阵互相决定，严格地说， 有： 命题 设 U 和 V 是数域 K 上的线性空间， dimU = n ，dimV = m ，则 Hom (U,V) K 同构于 K 上的 m n 矩阵的全体构成的线性空间. 证明 取定 U 和 V 的基 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,    m ，考察映射 : Hom( , ) ( ), . U V M K m n f A  →  其中 A 是 f 的矩阵。   U ， 1 1 2 2 , n n     = + + + k k k 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (( , , , ) ) ( ( , , , )) ( , , , ) . n n m n n n k k k k k k f f f A k k k                             ===                   于是 f ( )  在 V 中的坐标为 1 2 n k k A k             。 1、 证明  是单射，设 f g  ，若它们的矩阵分别为 A B, ，则 A B  。否则 U 中任一 向量在 f g, 下的像坐标相同  f g = ； 2、 证 明  是满射，任给 C M ，定义从 U 到 V 的映射 f ，满足 1 2 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) . n m f f f C       = 再对任一 1 1 2 2 n n     = + + +  k k k U ，令 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f k k k k f k f k f       + + + = + + + ， 易见 f 线性，即线性映射 f 的矩阵就是 C 。 3、 证明  是线性映射，设 f g U V , Hom( , )  ，它们的矩阵分别为 A B, ， 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( 1,2, , ) i i i i i im m i i im m i i i i im im m f g f g a a a b b b a b a b a b i n             + = + = + + + + + + + = + + + + + + = 于是 f g + 在 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,    m 下的矩阵为 A B+ ；同理可证   ( ) ( ) kf k f = 。 命题得证。 线性映射的复合的矩阵 命 题 设 f U V g V W   Hom( , ), Hom( , ) ， 设 U V W , , 的基为 1 2 , , , n    ， 1 2 , , ,    m 和 1 2 , , , l    ，记 f 和 g 在这组基下的矩阵分别为 A 和 B ，则 g f 在基

E1,E2…,En和51252…,5下的矩阵为BA。特别地,当U=V=W时,f(4)的矩阵为 f(a) 说明对于一般的线性映射,一般不满足交换律,甚至交换后没有意义

1 2 , , , n    和 1 2 , , , l    下的矩阵为 BA 。特别地，当 U V W = = 时， f ( ) A 的矩阵为 f A( ) 。 说明 对于一般的线性映射，一般不满足交换律，甚至交换后没有意义