北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第二章 向量空间与矩阵（2.5）n阶方阵

第一学期第九次课 第二章§5n阶方阵 251n阶方阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵,初等矩阵,对称、反对称、上三角、下 三角矩阵 定义(数域K上的n阶方阵)数域K上的n×n矩阵成为K上的n阶方阵,K上全体 阶方阵所成的集合记作Mn(K)。 定义(n阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵)数域K上形如 d10 0 的方阵被称为n阶对角矩阵,与其他矩阵相乘,有 d d a d d a x(dand2amn2…d,am d d d 2a2 xn(a,l an2 d a, a,an2…d 形如 0 的方阵被称为n阶数量矩阵,与其他矩阵相乘,有 ka, k ka

第一学期第九次课 第二章 §5 n 阶方阵 2.5.1 n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下 三角矩阵 定义（数域 K 上的 n 阶方阵） 数域 K 上的 n n 矩阵成为 K 上的 n 阶方阵，K 上全体 n 阶方阵所成的集合记作 ( ) M K n 。 定义（ n 阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域 K 上形如 1 0 0 n n n d d            的方阵被称为 n 阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有 11 12 1 1 11 2 12 1 1 21 22 2 1 21 2 22 2 1 2 1 1 2 2 0 0 n n n n n n n n n m m mn m m n mn a a a d a d a d a d a a a d a d a d a d a a a d a d a d a                    =                 ； 11 12 1 1 11 1 12 1 1 1 21 22 2 2 21 2 22 2 2 1 2 1 2 0 0 l l l l n n n n n nl n n n n n nl a a a d a d a d a d a a a d a d a d a d  a a a d a d a d a                   =                 。 形如 0 0 n n k k            的方阵被称为 n 阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 0 0 n n n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka k a a a ka ka ka k  a a a ka ka ka                   =                 ；

au a 0 ka21ka2…ka 0 ImI 矩阵 被称为n阶单位矩阵,记作En,有 0 我们记第i行第j列为1,其余位置全为零的n阶方阵 ey 定义初等矩阵 我们把形如 其中对角线上除了第i个元素为k(k≠0)以外,全为1,其他位置全为0的矩阵和形如

11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 0 0 l l l l n n n n nl n n nl a a a ka ka ka k a a a ka ka ka k a a a ka ka ka                    =                 。 矩阵 1 1 0 0 n n           被称为 n 阶单位矩阵，记作 E n ，有 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 1 0 0 n n n n n n m m mn m m mn a a a a a a a a a a a a a a a a a a                    =                 ； 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 1 0 0 l l l l n n n n nl n n nl a a a a a a a a a a a a  a a a a a a                   =                 。 我们记第 i 行第 j 列为 1，其余位置全为零的 n 阶方阵 1 ij n n E        =       。 定义 初等矩阵 我们把形如 1 1 1 1 n n k        其中对角线上除了第 i 个元素为 k ( 0) k  以外，全为 1，其他位置全为 0 的矩阵和形如

k 其中对角线上的元素全为1,第i行j列位置上为k,其余位置都为0的矩阵和形如 0 其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外,都为1,第i行第列和第(n-i)行第 (nj)列位置上为1,其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵,分别用P(k·1),P(k·i,j, P(,j来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的 定义对称矩阵、反对称矩阵 设A=(a)为数域K上的n阶方阵,若an=an称A为对称矩阵;:若an=-an 则称A为反对称矩阵 若A,B为数域K上的n阶对称(反对称)矩阵,则k4+1B仍为K上的n阶对称(反对 称)矩阵,其中k,l∈K 定义上三角、下三角矩阵 数域K上形如

1 1 1 1 n n k        其中对角线上的元素全为 1，第 i 行 j 列位置上为 k，其余位置都为 0 的矩阵和形如 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 n n       其中对角线上的元素除了第 i 和第 j 个元素为零外，都为 1，第 i 行第列和第（n-i）行第 （n-j）列位置上为 1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用 ( ) P k i n • ， ( , ) P k i j n • ， ( , ) P i j n 来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。 定义 对称矩阵、反对称矩阵 设 ( ij)n n A a  = 为数域 K 上的 n 阶方阵，若 ij ji a a = ，称 A 为对称矩阵；若 ij ji a a = − ， 则称 A 为反对称矩阵。 若 A B, 为数域 K 上的 n 阶对称（反对称）矩阵，则 kA lB + 仍为 K 上的 n 阶对称（反对 称）矩阵，其中 k l K ,  。 定义 上三角、下三角矩阵 数域 K 上形如

的n阶方阵被称为上三角矩阵;形如 的n阶方阵被称为下三角矩阵。 对于n阶上(下)三角矩阵,同样有 若A,B为数域K上的n阶上(下)三角矩阵,则k4+B仍为K上的n阶上(下)三角 矩阵,其中k,l∈K 命题矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘初等矩阵 证明我们分别考察三种初等矩阵 对于 1a12 ka, ke 等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数

11 12 1n nn a a a a             的 n 阶方阵被称为上三角矩阵；形如 11 21 n nn 1 a a a a             的 n 阶方阵被称为下三角矩阵。 对于 n 阶上（下）三角矩阵，同样有 若 A B, 为数域 K 上的 n 阶上（下）三角矩阵，则 kA lB + 仍为 K 上的 n 阶上（下）三角 矩阵，其中 k l K ,  。 命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 证明 我们分别考察三种初等矩阵 对于 1 1 ( ) 1 1 n n P k i k            • =             ， 有 11 12 1 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 l l l i i il n n nl n n nl a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a                    =                          ， 等价于初等行变换中将第 i 行乘以一个非零数

k 等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数 对于 P(k·i,j) k 1 ka ta 1 等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍, ka,.+ kai+ayj a 等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍; 对于

11 1 1 11 12 1 21 2 2 21 22 2 1 1 1 1 1 1 1 i l n i l n m m mn n ni nl a ka a a a a a ka a a a a k a a a a ka a                       =                             ， 等价于初等列变换中将第 i 列乘以一个非零数； 对于 1 1 ( , ) 1 1 n n n P k i j k            • =             ， 有 11 12 1 11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 l l l i j i j il jl n n nl n n nl a a a a a a a a a ka a ka a ka a k a a a a a a                    = + + +                          等价于初等行变换中将第 j 行加上第 i 行的 k 倍， 11 1 1 1 11 12 1 21 2 1 2 21 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 i j l n i j l n m m mn n ni j nl a ka a a a a a a ka a a a a a k a a a a ka a a       +         +         =                     +         等价于初等列变换中将第 j 列加上第 i 列的 k 倍； 对于

0 P,,n nxN 有 等价于初等行变换中互换i,j两行,而 0 等价于初等列变换中互换,j两列 是初等行(列)变换可以等价为左(右)乘初等矩阵。证毕。 定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 证明必要性经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵(记为A)化为对角形,由初等 变换与乘初等矩阵的等价性,可知存在初等矩阵 ,P2,…P和Q1,Q2…,Q 使得P,PB2,…PAQ1,Q2,…Q=En,由于初等变换存在逆变换,于是可知用初等变换的逆 变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A,于是,存在n阶初等矩阵P',P2',…P'和

1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 n n n Pij      =   ， 有 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 l l j j jl i i il i i il j j jl n n nl n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                              =                             n nl 2 a                       ， 等价于初等行变换中互换 i，j 两行，而 11 1 1 1 11 1 1 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 j i n i j n j i n i j n m mj mi mn m mi a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                         =                      mj mn a a                       等价于初等列变换中互换 i，j 两列。 于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩 n 阶矩阵（记为 A）化为对角形，由初等 变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵 1 2 , , P P P s 和 1 2 , , , Q Q Qt ， 使得 1 2 1 2 , , , , , P P P AQ Q Q E s t n = ，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆 变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵 A，于是，存在 n 阶初等矩阵 1 2 ' ', ', ' P P P s 和

Q'Q2∴…,Q,,使得 B,B∴…P'EQ',Q:…Q.=A, 由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质,可以知道A=P',P,…PQ',Q2,…,Q,,必要 性证毕。 充分性若A可以表示成为初等矩阵的乘积,则A=PP2…P=PP2…PE,表示A可 由n阶单位阵经过s次初等变换得到,于是A满秩。证毕。 推论设A是满秩矩阵,对于任意矩阵B,C,有r(AB)=r(B),r(CA)=r(C)(只 乘法有意义) 证明由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积,于是存在初等矩阵P,P2…P,使得 A=fP2…P,于是,AB=P2…PB,由初等矩阵于初等变换的等价关系,AB相当于 对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩,所以r(AB)=r(B);同理, r(CA)=r(C)。证毕

1 2 ' ', ', , ' Q Q Qt ，使得 1 2 ' 1 2 ' ', ', ' ', ', , ' P P P E Q Q Q A s n t = ， 由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道 1 2 ' 1 2 ' ', ', ' ', ', , ' A P P P Q Q Q = s t ，必要 性证毕。 充分性 若 A 可以表示成为初等矩阵的乘积，则 A PP P PP P E = = 1 2 1 2 s s ，表示 A 可 由 n 阶单位阵经过 s 次初等变换得到，于是 A 满秩。证毕。 推论 设 A 是满秩矩阵，对于任意矩阵 B, C ，有 r (AB) = r (B) ，r (CA) = r (C) （只要 乘法有意义）. 证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵 1 2 , , , P P P r ，使得 A PP P = 1 2 r ，于是， AB PP P B = 1 2 r ，由初等矩阵于初等变换的等价关系， AB 相当于 对 B 做 r 次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以 r (AB) = r (B) ；同理， r (CA) = r (C) 。证毕