第一学期第二次课 §2一元高次代数方程的基础知识 121高等代数基本定理及其等价命题 1.高等代数基本定理 设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果 f(x)=ax"+a1x"+…+an∈Kx(a0≠0),则称n为f(x)的次数,记为 deg f(x) 定理(高等代数基本定理)C[x]的任一元素在C中必有零点 命题设∫(x)=a0x”+a1x”+……+an、(a0≠0,n≥1)是C上一个n次多项式,a 是一个复数。则存在C上首项系数为a0的n-1次多项式q(x),使得 f(x)=q(x(x-a)+f(a) 证明对n作数学归纳法。 推论x0为f(x)的零点,当且仅当(x-x0)为f(x)的因式(其中degf(x)≥1)。 命题(高等代数基本定理的等价命题)设f(x)=a0x+a1x2 (a0≠0,n≥1)为C上的n次多项式,则它可以分解成为一次因式的乘积,即存在n个复 数a1,a2…,an,使 f(x)=a0(x-a1)(x-a2).(x-an) 证明利用高等代数基本定理和命题1.3,对n作数学归纳法 2.高等代数基本定理的另一种表述方式 定义设K是一个数域,x是一个未知量,则等式 ax+ax+ (其中ao0,a1…:an∈K,a0≠0)称为数域K上的一个n次代数方程:如果以x=a∈K 带入(1)式后使它变成等式,则称a为方程(1)在K中的一个根 定理(高等代数基本定理的另一种表述形式)数域K上的n(≥1)次代数方程在复数域 C内必有一个根 命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根(可以重复)。 命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定C上两个n次、m次多项式 f(x)=a0+a1x+…+anx"(an≠0), 8(x)=b+b1x+……+bnx"(bn≠0) 如果存在整整数1,l≥m,1≥n,及l+1个不同的复数B,B2…,B,B1,使得 f(B,)=g(B1)(i=1,2,…l+1)
第一学期第二次课 §2 一元高次代数方程的基础知识 1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理 设 K 为数域。以 K[x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果 ( ) ...... [ ],( 0) 0 1 = 0 + 1 + + − f x a x a x an K x a n n ，则称 n 为 f (x) 的次数 ，记为 deg f (x) 。 定理（高等代数基本定理） C [x] 的任一元素在 C 中必有零点。 命题 设 ( ) ...... ,( 0 1) 0 1 = 0 + 1 + + − f x a x a x an a n n n ， 是 C 上一个 n 次多项式， a 是一个复数。则存在 C 上首项系数为 0 a 的 n −1 次多项式 q(x) ，使得 f (x) = q(x)(x − a) + f (a) 证明 对 n 作数学归纳法。 推论 0 x 为 f (x) 的零点，当且仅当 ( ) 0 x − x 为 f (x) 的因式（其中 deg f (x) 1 ）。 命 题 （高等代数基本定理的等价命题） 设 n n n f x = a x + a x + + a − ( ) ...... 1 0 1 ( 0 1) a0 ，n 为 C 上的 n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复 数 a a an , ,......, 1 2 ，使 ( ) ( )( )......( ) 0 1 2 n f x = a x − x − x − 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式 ...... 1 0 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a x a x a x a （1） （其中 a0 , a1 ,......, an K, a0 0 ）称为数域 K 上的一个 n 次代数方程；如果以 x = K 带入（1）式后使它变成等式，则称 为方程（1）在 K 中的一个根。 定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域 K 上的 n (1) 次代数方程在复数域 C 内必有一个根。 命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）。 命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式 ( ) ...... ( 0) = 0 + 1 + + n n f x a a x an x a ， ( ) ...... ( 0) = 0 + 1 + + m m g x b b x bm x b ， 如果存在整整数 l , l m, l n ,及 l +1 个不同的复数 1 2 1 , ,......, , l l+ ，使得 f ( ) = g( ) (i =1,2,......,l +1) i i
则f(x)=g(x) 122韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设∫(x)=ax"+a1x"+…+an,其中a∈K,a≠0。设f(x)=0的复根为 a1,a2,…an(可能有重复),则 f(x)=∏(x-a)=(x-a)(x-a2)…(x-a x-(a4+a2+…+a)x-+…+a2…an 所以 +a. (-1)2∑an =(-1)”a1 我们记 )=1 1 )=a1+a2+…+a o(a a=a (a202…On称为a1,a2…,an的初等对称多项式)。于是有 定理2(韦达定理)设∫(x)=ax”+ax”+…+an,其中a∈K,a0≠0。设 f(x)=0的复根为a12a2…,n。则
则 f (x) = g(x) 。 1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a − = + + + ，其中 0 , 0 i a K a 。 设 f x( ) 0 = 的复根为 1 2 , , , n （可能有重复），则 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . n i n i n n n n f x x x x x a x x = − = − = − − − = − + + + + + 所以 ( 1) ( ) 1 2 1 0 1 n a a = − + ++ ； = − i i n i i a a 1 2 1 2 0 2 0 2 ( 1) ； ( 1) . 1 2 0 n n n a a = − 我们记 0 (1 , 2 , , n ) =1 ； 1 1 2 n =1 + 2 ++ n ( , , , ) ； = i i i n r n i i i r r 1 2 1 2 0 1 2 ( , , , ) ； n 1 2 n 1 2 n ( , , , ) = （ 1 2 , , , n 称为 1 2 , , , n 的初等对称多项式）。于是有 定理 2.5 ( 韦达定理) 设 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a − = + + + ，其中 0 , 0 i a K a 。设 f x( ) 0 = 的复根为 1 2 , , , n 。则 ( 1) ( , , , ) 1 1 2 1 0 1 n a a = − ； ( 1) ( , , , ) 2 1 2 2 0 2 n a a = − ；
(-1)"σn(a1 ) 命题给定R上n次方程 0 0 如果a=a+bi是方程的一个根,则共轭复数a=a-bi也是方程的根 证明由已知 a0+a1 两边取复共轭,又由于ao,a12…an∈R,所以 aataa-t+a,,,, a+a 推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 证明因为它的复根(非实根)必成对出现,已知它在C内有奇数个根,故其中必有 根为实数
( 1) ( , , , ). 1 2 0 n n n n a a = − 命题 给定 R 上 n 次方程 ...... 1 0 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a x a x a x a ， a0 0 ， 如果 = a + b i 是方程的一个根，则共轭复数 = a − b i 也是方程的根。 证明 由已知， 1 0 1 1 ...... 0 n n n n a a a a − + + + + = − . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以 1 0 1 1 ...... 0 n n n n a a a a − + + + + = − . 推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一 根为实数